lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

434 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
DEFINICIÓN 2
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. Entonces
i. u y v son ortogonales si (u, v) 5 0.
ii. La norma de u, denotada por ||u||, está dada por
||u|| 5 ( uu , )
(3)
Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor
absoluto. Por ejemplo, en el ejemplo 7 ||sen t|| denota la norma de sen t como un “vector” en
C[0, 2 π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.
Nota 2. La ecuación (3) tiene sentido ya que (u, u) $ 0.
EJEMPLO 6 Dos vectores ortogonales en
2
En
2
los vectores (3, 2i) y (2, 6i) son ortogonales porque
(( 3, i),( 2, 6i)) 3 2 ( i)( 6i) 6 ( i)( 6i)
6
6 0
además (, 3 i) 33 ( i)() i 10.
EJEMPLO 7 Dos funciones ortogonales en C[0, 2π]
En C[0, 2π] las funciones sen t y cos t son ortogonales ya que
Además,
2
1 2
cos 2t
(sen t, cos t) sen t cos t dt sen 2t dt
0 2
0
4
sen t (sen t, sen t)
12 /
12 /
2
2
sen tdt
0
1 2
( 1 cos 2 )
2
t dt
0
2
12 /
1 sen 2t
2
t
2
0
12 /
2
0
0
Si se observan las demostraciones de los teoremas 4.9.1 y 4.9.2 de la página 389, se ve que no
se utilizó el hecho de que V 5 n
. Los mismos teoremas se cumplen en cualquier espacio con
producto interno V. A continuación se enumeran, por conveniencia, después de dar una definición.
DEFINICIÓN 3
Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es un conjunto ortonormal en V si
(v i
, v j
) 5 0 para i ≠ j (4)