lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.2 Un modelo de crecimiento de población (opcional) 551
En el ejemplo 1 se tenía β 5 0.5, α 5 0.3; entonces (10) se cumple si k . 0.5/0.3 ≈ 1.67.
Antes de cerrar esta sección deben hacerse notar dos limitaciones de este modelo:
i. Las tasas de nacimiento y muerte cambian con frecuencia de un año a otro y dependen particularmente
del clima. Este modelo supone un medio ambiente constante.
ii. Los ecologistas han encontrado que para muchas especies las tasas de nacimiento y muerte
varían con el tamaño de la población. En particular, una población no puede crecer cuando
llega a cierto tamaño debido a los efectos de una alimentación limitada y a la sobrepoblación.
Es evidente que una población no puede crecer en forma indefinida a una tasa constante.
De otra manera, esa población dominaría la tierra.
Problemas 6.2
De los problemas 1 a 3 encuentre el número de pájaros hembras jóvenes y adultos después
de 1, 2, 5, 10, 19 y 20 años. Después encuentre las razones a la larga de p j,n
/p a,n
y de T n
a T n21
[sugerencia: utilice las ecuaciones (7) y (9) y una calculadora y redondee a tres decimales].
I. p 5 ⎛ 0 ⎞
0 ⎝ ⎜ 12⎠
⎟ ; k 5 3, α 5 0.4, β 5 0.6
II. p 5 ⎛ 0 ⎞
0 ⎝ ⎜ 15⎠
⎟ ; k 5 1, α 5 0.3, β 5 0.4
III. p 5 ⎛ 0 ⎞
0 ⎝ ⎜ 20⎠
⎟ ; k 5 4, α 5 0.7, β 5 0.8
IV. Demuestre que si α 5 β y α . 1 2
entonces, a la larga, la población de pájaros aumentará
siempre si cada hembra adulta produce al menos una hembra entre sus críos.
V. Demuestre que, a la larga, la razón p j,n
/p a,n
se acerca al valor límite k/ λ 1
.
VI. Suponga que se divide la población de pájaros adultos en dos grupos de edad: los que
tienen entre 1 y 5 años de edad y los mayores de 5 años. Suponga que la tasa de supervivencia
para los pájaros del primer grupo es β, mientras que para el segundo grupo es γ
(y β . γ). Suponga que los pájaros del primer grupo se distribuyen en grupos del mismo
tamaño en cuanto a su edad (esto es, si hay 100 pájaros en el grupo, 20 tienen 1 año, 20
tienen 2 años, etc.). Formule un modelo utilizando una matriz de 3 3 3 para representar
esta situación.
MATLAB 6.2
1. Considere la población de pájaros dada por
⎛ 0 3⎞
A5
⎝
⎜
. 4 .6⎠
⎟
⎛ 0⎞
y p 5
0
⎝
⎜
12⎠
⎟
a) Encuentre el número de pájaros hembras adultos y jóvenes después de 2, 5, 10 y 20 años.
b) Encuentre estas cantidades después de 21 años y calcule p j,n
/p a,n
y de T n
a T n21
para n 5 21.
[Sugerencia: Use el comando sum de MATLAB para encontrar T n
.] Repita para n 5 22,
23, 24 y 25. ¿Cuál es su conclusión para lím n S ∞
p j,n
/p a,n
y lím n S ∞
T n
/T n21
?
c) Encuentre [V,D] 5 eig(A). Verifique que el valor característico de mayor magnitud es positivo
con multiplicidad algebraica 1, que existe un vector característico asociado cuyas
componentes son todas positivas y que el otro valor característico es estrictamente me-