lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

122 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
25. Si A y B son matrices antisimétricas de n 3 n, demuestre que (AB) t 5 BA de manera que
AB es simétrica si y sólo si A y B conmutan.
26. Sea A una matriz de n 3 n. Demuestre que la matriz ½(A 1 A t ) es simétrica.
27. Sea A una matriz de n 3 n. Demuestre que la matriz ½(A 2 A t ) es antisimétrica.
*28. Demuestre que cualquier matriz cuadrada se puede escribir de una forma única como la
suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
⎛ a a ⎞
11 12
*29. Sea A 5 ⎜
⎟ una matriz con elementos reales no negativos que tiene las propiedades
siguientes: i) a 1a
51
y a 1a
51
y ii)
⎝ a a
21 22 ⎠
2 2
2 2
⎛ a ⎞
11
11 12
12 22
⎜
⎝ a
⎟
12 ⎠
⋅ ⎛ a ⎞
⎝ ⎜
21
a
⎟ 50. Demuestre que A es invertible
y que A 21 5 A t .
22 ⎠
De los problemas 30 a 34 calcule (A t ) 21 y (A 21 ) t y demuestre que son iguales.
⎛
30. A5 1 2 ⎞
⎝
⎜
3 4⎠
⎟ 31.
⎛ 2 0⎞
⎝
⎜
6 3⎠
⎟
32. A5
⎛ 2 1⎞
⎝
⎜
3 2⎠
⎟
33. A5
⎛ 3 2 1⎞
⎜
0 2 2
⎟
⎝
⎜ 0 0 21⎠
⎟
34. A5
⎛ 1 1 1⎞
⎜
0 2 3
⎟
⎝
⎜ 5 5 1⎠
⎟
R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
I. a) II. F) III. V) IV. V) V. b)
MANEJO DE LA CALCULADORA
Para obtener A t una vez que se tiene a la matriz en la pila se oprime la siguiente secuencia
de teclas (observación: se considera que se está trabajando en modo RPN y con la
bandera (flag) 117 en la posición SOFT)
MTH
MATLAB 1.9
Información de MATLAB. En la mayoría de las aplicaciones, para encontrar la transpuesta de
A, A t , se da A’. Aquí ’ es el apóstrofe. Si A tiene elementos complejos, A’ ocasionará la transpuesta
conjugada compleja; si desea encontrar la transpuesta de A (sin conjugación compleja),
utilice A.’
Para generar matrices aleatorias consulte los problemas que aparecen en la sección anterior,
MATLAB 1.6.