lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

378 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
35. En P n
sean p 1
, p 2
, . . . , p n+1
, n 1 1 polinomios tales que p i
(0) 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n 1 1.
Demuestre que los polinomios son linealmente dependientes.
* CÁLCULO 36. En el problema 35, en lugar de p i
(0) 5 0, suponga que p i
( j)
5 0 para i 5 1, 2, . . . , n 1 1 y
para alguna j con 1 # j # n, donde p i
( j)
denota la j-ésima derivada de p i
. Demuestre que los
polinomios son linealmente dependientes en P n
.
37. En M mn
sean A 1
, A 2
, . . . , A mn
, mn matrices cuyas componentes en la posición 1,1 son cero.
Demuestre que las matrices son linealmente dependientes.
*38. Suponga que los ejes x y y en el plano se rotan en sentido positivo (al contrario de las manecillas
del reloj) un ángulo θ (medido en radianes). Esto da nuevos ejes que se denotan por
(x9, y9). ¿Cuáles son las coordenadas x, y de los vectores de la base i y j rotados?
39. Demuestre que la matriz del cambio de coordenadas en el problema 38 está dada por
A 1
en
sen cos
.
⎛ −4⎞
40. Si en los problemas 38 y 39, θ 5 π/6 5 30˚, escriba el vector
⎝
⎜
3⎠
⎟ en términos de los nuevos
ejes coordenados x9 y y9.
⎛ 2⎞
41. Si θ 5 π/4 5 45˚, escriba
⎝
⎜
−7⎠
⎟ en términos de los nuevos ejes coordenados.
4
42. Si θ 5 2π/3 5 120˚, escriba
5
en términos de los nuevos ejes coordenados.
43. Sea C 5 (c ij
) una matriz invertible de n 3 n y sea B 1
5 {v 1
, v 2
, . . . , v n
} una base para el
espacio vectorial. Sea
⎛ c ⎞
⎛ c ⎞
11
12
⎜ c ⎟
⎜ c ⎟
c 5
21
5c
5
22
1
⎜ ⎟
2
⎜ ⎟
⎝
⎜ c ⎠
⎟
⎝
⎜ c ⎠
⎟
n1
B n2
1
⎛ c ⎞
1n
⎜ c ⎟
c 5
2n
n
⎜ ⎟
⎝
⎜ c ⎠
⎟
B
nn
1 B1
Demuestre que B 2
5 {c 1
, c 2
, . . . , c n
} es una base para V.
44. Sean B 1
y B 2
dos bases para el espacio vectorial V de dimensión n y sea C la matriz de transición
de B 1
a B 2
. Demuestre que C 21 es la matriz de transición de B 2
a B 1
.
45. Demuestre que (x) B1
5 CA(x) B1
para toda x en un espacio vectorial V si y sólo si CA 5 I
[sugerencia: Sea x i
el vector i en B 1
. Entonces (x i
) B1
tiene un uno en la posición i y un cero
en otra parte. ¿Qué puede decirse sobre CA(x i
) B1
?].
R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
I. c) II. a) III. d)
MATLAB 4.8
1 1
1. Sea B 5 {v 1
, v 2
}, donde v
v
1 2
1
y
1
. Observe que B es una base para 2
. Para w
en 2
a
, ( w)
B
b
significa que w 5 av 1 bv .
1 2