lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.10 Matrices elementales y matrices inversas 133
52.
⎛ 1 0 0 0⎞
⎜
0 1 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜26 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 1⎠
De los problemas 53 a 62 demuestre que cada matriz es invertible y escríbala como un producto
de matrices elementales.
53.
⎛ 2 1⎞
⎝
⎜
3 2⎠
⎟
54.
⎛1 2⎞
⎝
⎜
3 4⎠
⎟
55.
⎛ 1 1 1⎞
⎜
0 2 3
⎟
⎝
⎜ 5 5 1⎠
⎟
56.
⎛ 3 2 1⎞
⎜
0 2 2
⎟
⎝
⎜ 0 0 21⎠
⎟
57.
⎛ 0 21 0⎞
⎜
0 1 21
⎟
⎝
⎜ 1 0 1⎠
⎟
58.
⎛ 2 0 4⎞
⎜
0 1 1
⎟
⎝
⎜ 3 21 1⎠
⎟
59.
⎛ 2 0 0⎞
⎜
4 1 0
⎟
⎝
⎜ 1 1 1⎠
⎟
⎝
⎠
60.
⎛ 2 0 0 0⎞
⎜
0 3 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 24 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 5⎠
61.
⎛ 2 1 0 0⎞
⎜
0 2 1 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 2 1⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 2⎠
62.
⎛ 3 0 0 0⎞
⎜
1 3 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 1 3 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 1 3⎠
⎛ a b⎞
63. Sea A5
⎝
⎜ 0 c ⎠
⎟ donde ac ≠ 0. Escriba A como un producto de tres matrices elementales y
concluya que A es invertible.
⎛ a b c ⎞
64. Sea A5 ⎜
0 d e
⎟
donde adf ≠ 0. Escriba A como un producto de seis matrices elementa-
⎝
⎜ 0 0 f ⎠
⎟
les y concluya que A es invertible.
*65. Sea A una matriz triangular superior de n 3 n. Pruebe que si toda componente en la diagonal
de A es diferente de cero, entonces A es invertible. [Sugerencia: Remítase a los problemas
63 y 64.]
*66. Demuestre que si A es una matriz triangular superior de n 3 n con componentes diferentes
de cero en la diagonal, entonces A 21 es triangular superior.
*67. Utilice el teorema 1.9.1 iv), página 119 y el resultado del problema 66 para demostrar que
si A es una matriz triangular inferior con componentes diferentes de cero en la diagonal,
entonces A es invertible y A 21 es triangular inferior.
68. Demuestre que si P ij
es la matriz de n 3 n obtenida permutando los renglones i y j de I n
,
entonces P ij
A es la matriz obtenida al permutar los renglones i y j de A.