lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

740 CAPÍTULO 6
C
21
⎛ 4 4 0 0 ⎞
⎜
⎟
0 3 0 0
AC5
⎜
⎟
⎜ 0 0 i 0 ⎟
⎜
⎝ 0 0 0 i
⎟
⎠
21. Como A es semejante a B, B 5 D 21 AD
para alguna matriz D invertible. B es
semejante a C, C5 E 21 BE para alguna
matriz E invertible. Entonces C5 E 21 D
21
21
ADE 5( DE) A( DE). Por lo tanto A es
semejante a C.
23. Suponga que C es invertible. Si x ∈ Nu(A)
entonces CAx 5 C0 5 0. Por lo tanto
x ∈ Nu(CA). Si x ∈ Nu(CA) entonces
Ax 5 0 ya que Nu(C) 5 0. De modo que
x ∈ Nu(A) si y sólo si x ∈ Nu(CA). Por lo
tanto ν(CA) 5 ν (A). Ahora suponga que
x ∈ Im(A). Entonces existe y tal que Ay
n
5 x. Como C es invertible, Im( C)
5 .
Entonces existe z tal que Cz 5 y, y ACz 5
x. Por lo tanto Im( A) ⊆ Im( AC)
. Suponga
x ∈Im( AC ). Entonces existe z tal que ACz
5 x. Sea y 5 Cz, entonces Ay 5 x. Por lo
tanto Im( AC) ⊆ Im( A)
e Im( A) 5 Im( AC)
y por lo tanto ρ( AC) 5 ρ( A)
. Entonces
ρ( A) 1 ν( A) 5ρ( CA) 1 ν( CA) ⇒ ρ( A) 5ρ( CA)
.
Por lo que ρ( A) 5ρ( AC) 5 ρ( CA)
. Como
C 21 es invertible, ρ( C 2 1
AC) 5 ρ( AC C
2 1
( ) )
5 ρ( A). Esto es, ρ( B) 5 ρ( A)
y por lo tanto
ν( A) 5 ν( B)
.
25. Como A es semejante a B, B5 D 21 AD
para alguna matriz D invertible. Entonces
1
det B 5 det(D 21 AD) 5 det A det D 5
det D
det A.
1 0
27. A 20 5 ⎛ ⎞
⎝ ⎜ 0 1⎠
⎟ .
10 10 10
⎛2438 25 2238 12 2238 14⎞
1
29. A 10 ⎜
10 10
10 ⎟
52 22
38 12 28
2 3 1
9 ⎜
8 22
8 2
⎟
.
10 10 10
⎝
⎜2438 14 2238 12 2238 25⎠
⎟
31. Como A es diagonalizable, A es similar a la matriz diagonal D 5 diag( λ , λ ,..., λ ). Entonces
det A5det
D5 λ λ λ .
1 2
1 2 n
n
33. Se introduce la matriz de interés . A continuación se guarda la matriz
en la variable A
, se encuentra la matriz de vectores característicos
y los valores característicos de la matriz que se encuentra en la primera posición
de la pila
. Se obtiene como resultado
⎛ 1 20. 238764... 20. 493123...
⎞
⎜
0. 491290... 20. 594350... 0. 957040...
⎟
⎝
⎜ 0. 706072...
1 1 ⎠
⎟