lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

276 CAPÍTULO 3 Vectores en R 2 y R 3
sean i 5 (1, 0, 0), j 5 (0, 1, 0) y k 5 (0, 0, 1); entonces v 5 (a, b, c) se puede escribir como
V 5 ai 1 bj 1 ck (p. 250)
vector unitario u en o es un vector que satisface |u| 5 1. En un vector unitario se
puede escribir como
donde θ es la dirección de u.
u 5 (cos θ)i 1 (sen θ)j (pp. 226, 227)
u 5 (a 1
, b 1
) y v 5 (a 2
, b 2
); entonces el producto escalar o producto punto de u y v, denotado
por u ? v, está dado por (p. 234)
u ? v 5 a 1
a 2
1 b 1
b 2
Si u 5 (a 1
, b 1
, c ) y v 5 (a , b , c ), entonces
1 2 2 2
u ? v 5 a 1
a 2
1 b 1
b 2
1 c 1
c 2
ángulo ϕ entre dos vectores u y v en o es el único número en [0, π] que satisface (pp. 234, 235)
u ⋅ v
cos ϕ=
u v
o son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π. Son paralelos si uno es un
múltiplo escalar del otro (pp. 236, 250)
2
o son ortogonales si el ángulo entre ellos es π/2. Son ortogonales si y sólo si
su producto escalar es cero (pp. 237, 250)
u y v dos vectores diferentes de cero en o . La proyección de u sobre v es un vector,
denotado por proy v
u, que está definido por (pp. 238, 251)
u v
proy v
u = ⋅ v
2
v
El escalar u ⋅ v se llama la componente de u en la dirección de v.
v
v
u es paralelo a v y u 2 proy v
u es ortogonal a v. (pp. 239, 251)
dirección de un vector v es el vector unitario (p. 247)
v
u =
v
a b c
v 5 (a, b, c), entonces cos α = , cos β = y cos γ = se llaman cosenos directores de v.
v v v
(p. 248)
u 5 a 1
i 1 b 1
j 1 c 1
k y v 5 a 2
i 1 b 2
j 1 c 2
k. Entonces el producto cruz o producto vectorial de
u y v, denotado por u 3 v, está dado por (pp. 254, 255)
i j k
u × v = a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
Propiedades del producto cruz (p. 255)
i. u × 0 = 0 × u = 0.
ii. u × v = − v × u.
iii. ( αu) × v = α ( u × v)
.