lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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494 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales EJEMPLO 10 2 Descomposición de una transformación lineal en en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones ⎛ 2 2 Considere la transformación T: S con representación matricial A T 5 1 2 ⎞ ⎝ ⎜ 3 4⎠ ⎟ . Usando la técnica de la sección 1.10 (vea el ejemplo 3 de la página 127), A T se puede escribir como el producto de tres matrices elementales: ⎛1 2⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2⎞ 5 ⎝ ⎜ 3 4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 3 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 22⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ (4) Ahora ⎛1 0⎞ ⎝ ⎜ 3 1⎠ ⎟ representa un corte a lo largo del eje y (con c 5 3) ⎛ 1 2⎞ ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ representa un corte a lo largo del eje x (con c 5 2) ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0 ⎝ ⎜ 0 22⎠ ⎟ 5 ⎞ ⎝ ⎜ 0 21⎠ ⎟ ⎝ ⎜ representa una expansión a lo largo del eje y (con c 5 2) 0 2⎠ ⎟ seguida de una reflexión respecto al eje x. Así, para aplicar T a un vector en 2 , se tiene que i. Cortar a lo largo del eje x con c 5 2. ii. Expandir a lo largo del eje y con c 5 2. iii. Reflejar respecto al eje x. iv. Cortar a lo largo del eje y con c 5 3. Observe que estas operaciones se realizan en el orden inverso en que se escriben las matrices en (4). ⎛ ⎞ Para ilustrar esto, suponga que v 5 ⎝ ⎜ 2 2 3⎟ ⎠ . Entonces ⎛1 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ Tv5 A T v5 ⎝ ⎜ 3 4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 22 ⎠ ⎟ 5 21 ⎞ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ Usando las operaciones i) a iv) se tiene que ⎛ 3⎞ Corte ⎛ 1 2⎞ ⎛ 3⎞ 2 2 5 ⎛ 2 1⎞ Expansión ⎛ 1 0⎞ ⎛21⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 22⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 22⎠ ⎟ 5 2 ⎝ ⎜ 24⎠ ⎟ Reflexión ⎛ 1 0⎞ ⎛21⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎜ 0 21⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 24⎠ ⎟ 5 2 ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ Corte 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎜ 3 1⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 4⎠ ⎟ 5 21 ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ En la figura 5.10 se bosquejan estos pasos.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 495 Figura 5.10 y y y Descomposición de la transformación lineal ⎛ 3⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 3⎞ T 5 5 ⎝ ⎜ −2 ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 3 4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ −2 ⎠ ⎟ en una sucesión de cortes, expansiones y reflexiones: a) Se comienza con ese vector. b) Vector obtenido por el corte a lo largo del eje x con c 5 2. c) Vector obtenido al expandir a lo largo del eje y con c 5 2. d) Vector obtenido al reflejar respecto al eje x. e) Vector obtenido por el corte a lo largo del eje y con c 5 3. x x 2 22 22 a) b) c) y 2 2 x y x x d) e) Problemas 5.3 A UTOEVALUACIÓN ⎛ x⎞ ⎛ z⎞ 3 3 I. Si T: S es la transformación lineal T ⎜ y ⎟ 5 ⎜ 2 x ⎟ , entonces A 5 ⎝ ⎜ z⎠ ⎟ ⎝ ⎜ y⎠ ⎟ T a) ⎛ 0 21 0⎞ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎝ ⎜ 1 0 0⎠ ⎟ b) ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 21 0 0 c) ⎝ ⎜ 0 1 0⎠ ⎟ ⎛ 1 0 0⎞ ⎜ 0 21 0 ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 1⎠ ⎟ d) ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 0 1 0 ⎝ ⎜ 21 0 0⎠ ⎟ II. _______ representa(n) una expansión a lo largo del eje y. a) ⎛ ⎛ ⎞ 1 2 0 ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ b) 2 0 ⎞ ⎜ ⎟ c) ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ 0 2⎠ ⎟ ⎝ 0 1⎠ III. ______ representa(n) una expansión a lo largo del eje x. d) ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎝ 2⎠ a) ⎛ 21 0⎞ ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ b) ⎛ 1 0⎞ ⎝ ⎜ 0 21⎠ ⎟ c) ⎛ 1 3⎞ ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ d) ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠ e) ⎛1 0⎞ ⎝ ⎜ 3 1⎠ ⎟ f ) ⎛ 1 0⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎝ 3 1 ⎟ ⎠ De los problemas 1 al 38 encuentre la representación matricial A T de la transformación lineal T, nu T, Im T, ν(T ) y r(T ). A menos que se especifique otra cosa, suponga que B 1 y B 2 son bases canónicas.
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Apéndice 5 USO DE MATLAB MATLAB es
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Respuestas A LOS PROBLEMAS IMPARES
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