lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 671
la única solución al problema Dx 5 0 es
la solución trivial. Por el teorema 6, D es
invertible. O puede escribir D 21 directamente
como en el problema 32.
1 1
⎛ 2
2 6
33. A 2 1
1
5
⎜
0
3
⎝
⎜ 0 0
2
7
30
4
15
1
5
⎞
⎟
⎠
⎟
35. Se demuestra el resultado para el caso de
que A sea triangular superior. La demostración
para una triangular inferior es similar.
Considere el sistema homogéneo
⎛ a a a a a
11 12 13 1,
n21 1
⎜
⎜ 0 a a a a
22 23 2,
n21 2
⎜
⎜
⎜ 0 0 0 a a
2 2 2
⎝
⎜ 0 0 0 0 a
⎛ x ⎞
1 ⎛ 0⎞
⎜
x
⎟ ⎜
2 0
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 ⎜ ⎟ 5 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x
⎜ ⎟
n 21
⎟
0
⎜
⎝ x
⎟
⎠ ⎝
⎜ 0⎠
⎟
n
n 1, n 1 n 1,
n
n
n
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
Suponga que a 11
, a 22
, … , a nn
son todas diferentes
de cero. La última ecuación en el
sistema homogéneo es a nn
x n
5 0, y como
a nn
Z 0, x n
5 0. La penúltima ecuación es
a n 2 1, n 2 1
x n 2 1
1 a n 2 1, n
x n
5 0
y a n 2 1, n 2 1
Z 0, x n
5 0 implica que x n 2 1
5 0. De manera similar, se concluye que
x 1
5 x 2
5 5 x n 2 1
5 x n
5 0, por lo que
la única solución al sistema homogéneo es
la trivial. Por el teorema 6 [partes i) y ii)],
A es invertible. Inversamente, suponga que
una de las componentes de la diagonal, digamos
a 11
, es igual a 0. Entonces el sistema
homogéneo Ax 5 0 tiene la solución
⎛ 1⎞
⎜
0
⎟
x 5 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
[Si a jj
5 0 con j Z 1, entonces se elige x
como el vector con un 1 en la posición j y
0 en cualquier otra parte.] Usando el teorema
6 otra vez, se concluye que A no es
invertible.
37. Cualquier múltiplo de (1, 2) diferente de
cero.
39. M 5I 1F I 2A 2 1
( λ ) B
5B 21 ( λI 2A )( λI 2A )
21
B
1F(λI 2A
) 21 B
F
F
F
F
F
F
2 1 1
2
λ
λ
1
F
5[ B ( I 2A2BF) 1F]( I 2A ) B
5(B 1 λI 2B
2 21 2 1
( λ )
1
I 2 A 2 B
F
F
A2B BF 1F)(
5( 2 )( 2 )
5B I 2A I 2A B
entonces
1 1
B 2 I B 2 A I A 2 1
λ
λ F
2 1 1
( λ )( λ )
2
F
1 1
M 2 5[ B 2 ( λI 2A)(
λ I 2A F
) 2 1
]
2 1
B
5[( λI 2A ) B] [ B ( λI 2A)]
F
21
5 B ( λI
2A )( λ I 2A ) 2 1
B .
F
B
21 21 21 21
Por lo tanto se demuestra que:
2 2 2
M 1 5B 1 ( λI 2A )( λI 2A)
1 B
41. 3 sillas y 2 mesas
43. 4 unidades de A y 5 unidades de B.
45. a)
F
⎛ 0.
293 0 0 ⎞
matriz
tecnológica A5 ⎜
0. 014 0. 207 0.
017
⎟
,
⎝
⎜ 0. 044 0. 010 0.
216⎠
⎟
matriz de Leontiff 5I
2A
⎛ 0.
707 0 0 ⎞
5
⎜
20. 014 0. 793 20.
017
⎟
;
⎝
⎜20. 044 20. 010 0.
784⎠
⎟
⎛1.
414 0 0 ⎞
21
b) ( I 2A)
5
⎜
027 . 1261 . 027 .
⎟
⎝
⎜ 0. 080 0. 016 1.
276 ⎠
⎟
⎛ 13 213⎞
⎛ 18 689 ⎞
21
x 5( I 2A
⎜
⎟
) 17 597 5
⎜
22 598
⎟
⎝
⎜ 1 786⎠
⎟
⎝
⎜ 3 615⎠
⎟