lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.3 Matrices semejantes y diagonalización 557
DEFINICIÓN 2
Matriz diagonalizable
Una matriz A de n 3 n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es
semejante a D.
Observación. Si D es una matriz diagonal, entonces los valores característicos son sus componentes
en la diagonal (vea la página 531). Si A es semejante a D, entonces A y D tienen los
mismos valores característicos (por el teorema 1). Uniendo estos dos hechos se observa que si
A es diagonalizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la
diagonal son los valores característicos de A.
El siguiente teorema establece cuándo una matriz es diagonalizable.
TEOREMA 2
Una matriz A de n 3 n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores característicos linealmente
independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A está dada por
0 0 0
0 0 0
D 5
0 0 0
0 0 0
donde λ 1
, λ 2
, … , λ n
son los valores característicos de A. Si C es una matriz cuyas columnas
son vectores característicos linealmente independientes de A, entonces
n
D 5 C 21 AC (3)
DEMOSTRACIÓN Primero se supone que A tiene n vectores característicos linealmente independientes v 1
,
v 2
, … , v n
que corresponden a los valores característicos (no necesariamente diferentes)
λ 1
, λ 2
, … , λ n
.
Sea
y sea
⎛ c ⎞ ⎛ c ⎞
11
12
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
c c
21
22
v 5⎜
⎟ , v 5⎜
⎟
1
2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
n1
n2
, ,
v n
⎛ c ⎞
1n
⎜ ⎟
⎜
c2n
5 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ c ⎠
nn
⎛ c
⎜
c
C 5 ⎜
⎜
⎜
⎝ c
11
21
n1
c
c
c
12
22
n2
c
c
1n
2n
c
nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Entonces C es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes. Ahora
bien