lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 701
CAPÍTULO 4
Problemas 4.2, página 286
1. Sí
3. No; iv); tampoco vi) se cumple si α , 0
5. Sí
7. No. Como se requiere que todos los polinomios
sean de grado 5, cualquier polinomio
de grado menor no pertenece al conjunto,
por lo que no existe neutro aditivo
ya que 0 no es un polinomio de grado 5.
⎛
9. Sí, i) 0 a⎞
⎛ 0 α⎞
⎛ 0 a 1 α ⎞
⎝
⎜
b 0 ⎠
⎟ 1
⎝
⎜
0 ⎠
⎟ 5
β
⎝
⎜
b 1 β 0⎠
⎟ ;
⎛ 0 0⎞
iii)
⎝
⎜
0 0⎠
⎟ ∈V
⎛ 0 a⎞
⎛ 0 αa⎞
; α
⎝
⎜
b ⎠
⎟ 5
⎝
⎜
b ⎠
⎟ ∈ V
0 α 0
el resto de los axiomas se derivan del teorema
1.5.1
11. Sí, es un espacio vectorial trivial.
13. No; iii) 0 ∉V ; iv) si px ( ) ∈V, entonces
2 px ( ) ∉V
dado que no tiene un término
constante positivo; vi) no se sostiene si
α, 0.
15. Sí
17. No; i), iii), iv), vi) no se cumplen
19. Sí 21. Sí
23. Suponga que 0 y 09 son identidades aditivas.
Entonces, por definición de identidad
aditiva, 0 5 0 1 09 y 09 5 09 1 0 5 0 1 09.
Así, 0 5 09.
25. Para x, y en V defina z como z 5 2x 1
y. z existe ya que toda x tiene un inverso
aditivo 2x y V es una cerra dura bajo la
adición. Entonces x 1 z 5 x 1(2x 1 y)
5 (x 2 x) 1 y 5 0 1 y 5 y. Suponga que
existen z y z9 tales que x 1 z 5 y y x 1 z9
5 y. Entonces z 5 2x 1 y 5 z9. Por lo
que z es única.
27. Sean y y y 2
soluciones a la ecuación. Entonces
y
Entonces
y′′ 1a( x) y′
1b( x) y ( x)
5
1 1 1
0
y′′ 1a( x) y′
1b( x) y ( x)
50
2 2 2
( y 1y ) 01a( x)( y 1y
) 9
1 2 1 2
1bx ( )( y1y)
1 2
5[ y′′ 1a(
x) y′
1 b( x) y ]
1
1 1
1[ y′′ 1a( x) y′
1b( x) y ]
2 2 2
501050
de manera que y 1
1 y 2
es una solución. Similarmente,
(αy 1
)0 1 a(x)(αy 1
9) 1 b(x) (αy)
5 α[y 1
0 1 a(x)y 1
9 1 b(x)y 1
] 5 α ? 0 5 0, con
lo que αy 1
también es una solución, y la
cerradura se cumple. Como 2y 1
5 (21)y
también es una solución, se tiene el inverso
aditivo. Es sencilla la deducción de los
otros axiomas.
MATLAB 4.2
1. Demostración de programa vctrsp.m
Problemas 4.3, página 297
1. No; porque a(x, y) x H si a , 0
3. H es un subespacio.
5. H no es un subespacio. (1, 0) F H, pero
2(1, 0) 5 (2, 0) F H.
7. Sí
9. H es un subespacio.
11. H es un subespacio.
⎛
13. H no es un subespacio. a 11 a ⎞ 1
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎛ b 11 b⎞
⎛ a1b 2 1a1b⎞
5
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎝
⎜
0 0⎠
⎟ ∉ H
15. Sí
17. H es un subespacio.
19. H es un subespacio.