lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 417
EJEMPLO 3 El mejor ajuste cuadrático para cinco puntos
puede proporcionar una estimación para g
El método de ajuste de curvas se puede utilizar para medir las constantes físicas. Suponga, por
ejemplo, que se deja caer un objeto desde una altura de 200 metros. Se toman las siguientes
mediciones:
Tiempo transcurrido Altura (en metros)
0 200
1 195
2 180
4 120
6 25
Si un objeto en la altura inicial, en reposo, se deja caer, entonces su altura después de t segundos
está dada por
s 5 200 2 1 2 gt2
Para estimar g, se puede encontrar un ajuste cuadrático para los cinco puntos dados. Los
coeficientes del término t 2 serán, si las mediciones son buenas, una aproximación razonable al
número 2 1 g. Utilizando la notación anterior, se tiene
2
Entonces
1 0 0
1 1 1
1 2 4
1 4 16
1 6 36
1 1
0 1 4 16 36
t
, 0 1
y
200
195
y 180
120
25
y
u =
⎛ 200⎞
⎛ 5912 −3924 508⎞
⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ ⎜
195
⎟
1
⎜ ⎟
⎜
−3924 4596 −704
⎟ ⎜
0 1 2 4 6
⎟
⎜
7504
180⎟
⎝
⎜ 508 − 704 116⎠
⎟
⎝
⎜ 0 1 4 16 36⎠
⎟ ⎜ ⎟
120
⎝
⎜ 25 ⎠
⎟
=
1
7 504
⎛ 5 912 −3 924 508⎞
⎛ 720⎞
⎜
−3 924 4 596 −704
⎟ ⎜
1185
⎟
=
⎜
⎝ 508 − 704 116⎠
⎟
⎝
⎜ 3 735⎠
⎟
Los datos se ajustaron con la ecuación cuadrática
1
7504
s(t) 5 200.44 21.13t 24.69t 2
⎛1 504 080⎞
⎛ 200.
44 ⎞
⎜
− 8 460
⎟
≈
⎜
−113
.
⎟
⎝
⎜ − 35 220 ⎠
⎟
⎝
⎜ − 496 . ⎠
⎟
y se tiene que 1 2 g ≈ 4.69, o sea, g ≈ 2(4.69) 5 9.38 m/seg 2