lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.5 Independencia lineal 319
Entonces las columnas de A consideradas como vectores, son linealmente dependientes
si y sólo si el sistema (8), que se puede escribir como Ac 5 0, tiene soluciones no triviales.
c
1
c
Aquí c 2 .
o
c n
EJEMPLO 6
Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones
lineales de vectores solución linealmente independientes
Considere el sistema homogéneo
x 2x x 2x
0
1 2 3 4
3x 7x x 4x
0
1 2 3 4
(9)
Solución
Haciendo una reducción de renglones:
El último sistema es
x 9x 6x
0
1 3 4
x 4x 2x
0
2 3 4
Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones, que se escriben como una combinación
lineal de los vectores columna:
(10)
⎛ 9⎞
⎜
− 4
⎟
Observe que ⎜ ⎟
⎜ 1⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎛ − 6⎞
⎜
2
⎟
y ⎜ ⎟ son soluciones linealmente independientes para (9) porque ningu-
⎜ 0⎟
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
no de los dos es múltiplo del otro (el lector debe verificar que sean soluciones). Como x 3
y x 4
son números reales arbitrarios, se ve de (10) que el conjunto de soluciones al sistema (9) es un
subespacio de
4
generado por estos dos vectores solución linealmente independientes.
Los siguientes dos teoremas se deducen directamente del teorema 3.