lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 443
e
(para evaluar la integral definida)
El resultado de la integración.
R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
I. d) II. d) III. a) IV. c) V. V
VI. F (verdadero sólo si dim V es finita)
MATLAB 4.11
En MATLAB, si la matriz A tiene elementos complejos, A9 produce la transpuesta con jugada
compleja. Así, si u y v son vectores en n
, se pueden representar por matrices de n 3 1 con elementos
complejos y (u, v) se calcula con v9*u y |u| se calcula con norm(u) o sqrt(u9*u).
En MATLAB se construye la variable i para representar el número imaginario 21.
MATLAB reconoce i como tal siempre que no se haya usado para otro propósito.
Para n dada, si se quiere generar un vector aleatorio en n
, dé
v 5 2*rand(n,1)-1 1 i*(2*rand(n,1)–1)
1. Genere cuatro vectores aleatorios en 4 . Encuentre la base ortonormal para el espacio
generado por estos vectores utilizando el proceso de Gram-Schmidt. Verifique que el conjunto
de vectores ortonormales obtenido con este proceso es ortonormal y que cada vector
en el conjunto original es una combinación lineal del conjunto de vectores obtenido.
2. a) Sea {u 1
, u 2
, u 3
, u } el conjunto de vectores obtenido en el problema 1 anterior. Sea A la
4
matriz [u 1
u 2
u 3
u 4
]. Sea w un vector aleatorio en 4
. Verifique que
Repita para otro vector w.
w 5 (w, u 1
) u 1
1 . . . 1 (w, u 4
)u 4
b) (Lápiz y papel) ¿Qué propiedad de una base ortonormal para
n
es expresada en el
inciso a)? Describa cómo encontrar las coordenadas de un vector en
n
respecto a una
base ortonormal.
3. Genere cuatro vectores aleatorios en 6
, v 1
, v 2
, v 3
y v . Sea H 5 gen {v , v , v , v }. Sea A 5
4 1 2 3 4
[v 1
v 2
v 3
v 4
] y B 5 orth(A). Sea u i
la i-ésima columna de B.
a) Sea w un vector aleatorio en n
. Encuentre la proyección de w sobre H, p 5 proy H
w.
( wu , )
1
( wu , )
Calcule z = 2 . Verifique que z 5 B9*w y p 5 B*B9*w. Repita para otro vector w.
(w, u )
3
( wu , )
4