lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

118 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
⎛ 1 2 23 4 5⎞
⎜
22 25 8 28 29
⎟
⎜
⎟
A 5 ⎜ 1 2 22 7 9⎟
⎜
⎟
1 1 0 6 12
⎝
⎜ 2 4 26 8 11⎠
⎟
Mensaje. 47, 49, 219, 257, 487, 10, 29, 63, 137, 236, 79, 142, 2184, 372, 536, 59, 70, 240, 332, 588
Nota. El primer renglón de la matriz que necesita construir es 47 49 219 257 487. Ahora
continúe con el segundo reglón.
1.9 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
En correspondencia a toda matriz existe otra que, como se verá en el capítulo 2, tiene propiedades
muy similares a las de la matriz original.
DEFINICIÓN 1
Transpuesta
Sea A 5 (a ij
) una matriz de m 3 n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t , es la
matriz de n 3 m que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas de A. De
manera breve, se puede escribir A t 5 (a ji
). En otras palabras
⎛
⎜
⎜
Si A 5 ⎜
⎜
⎝
⎜
a a a
11 12 1n
a a a
21 22 2n
a a a
m1 m2
mn
⎞
⎟
⎟
⎟, entonces
⎟
⎠
⎟
⎛
⎜
t ⎜
A 5 ⎜
⎜
⎝
⎜
a a am
a a am
a a a
11 21 1
12 22 2
1n 2n nm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
(1)
Simplemente se coloca el renglón i de A como la columna i de A t y la columna j de A
como el renglón j de A t .
EJEMPLO 1
Obtención de las transpuestas de tres matrices
Encuentre las transpuestas de las matrices
⎛ 1 2 26⎞
⎛ 2 3⎞
⎛ 2 3 1⎞
⎜
2 23 4
⎟
A 5
⎝
⎜
1 4⎠
⎟ B5 C5
⎜
⎟
⎝
⎜ 2 1 4 6⎠
⎟
⎜ 0 1 2⎟
⎜
⎟
⎝ 2 21 5⎠
Solución
Al intercambiar los renglones y las columnas de cada matriz se obtiene
⎛ 2 21⎞
⎛ 1 2 0 2⎞
A ⎛ 2 1⎞
95 ⎜
⎟
⎝
⎜
⎠
⎟ B 95
3 4
C 95
⎜
2 23 1 21
⎟
3 4
⎝
⎜ 1 6⎠
⎟
⎝
⎜26 4 2 5⎠
⎟