lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

578 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
Entonces
⎛ x9⎞
t
x95 5Q
x5
⎝
⎜
y9⎠
⎟
1 ⎛ 2 211
5⎞
x
⎜
⎟ ⎛ ⎞
10 2 2 5 ⎝12
5 2 ⎠ ⎝
⎜
y⎠
⎟
( )
⎛ x
y⎞
1
2 1211
5
5
⎜
⎟
⎜
⎝ ( ) x y
⎟
10 2 2 5 12 5 12
⎠
y, para las nuevas variables, la ecuación se puede escribir como
( ) ( )
2 2
2 2 5 x9 1 21 5 y9
56
Se analizará de nuevo la matriz Q. Como Q es real y ortogonal, 1 5 det QQ 21 5 det QQ t 5
det Q det Q t 5 det Q det Q 5 (det Q) 2 . Entonces det Q 5 61. Si det Q 5 21, se pueden intercambiar
los renglones de Q para hacer el determinante de esta nueva Q igual a 1. Así, se puede
⎛ cos θ 2sen
θ⎞
demostrar (vea el problema 44) que Q 5
⎝
⎜
sen θ cos θ⎠
⎟ para algún número θ con 0 # θ , 2π.
Pero del ejemplo 5.1.8 de la página 462, esto significa que Q es una matriz de rotación. Por lo
tanto, se ha demostrado el siguiente teorema.
TEOREMA 1 Teorema de los ejes principales en R 2
Sea
ax 2 1 bxy 1 cy 2 5 d (10)
una ecuación cuadrática en las variables x y y. Entonces existe un número único θ en
[0, 2π] tal que la ecuación (10) se puede escribir en la forma
a9x9 2 1 c9y9 2 5 d (11)
EJES PRINCIPALES
donde x9 y y9 son los ejes obtenidos al rotar los ejes x y y un ángulo θ en el sentido contrario
a las manecillas del reloj. Más aún, los números a9 y c9 son los valores característicos
a b
de la matriz A 5 ⎛ 2 ⎞
⎝ ⎜ b 2 c ⎠
⎟ . Los ejes x9 y y9 se denominan ejes principales de la gráfica
la gráfica de la ecuación cuadrática (10).
Se puede usar el teorema 1 para identificar tres secciones cónicas importantes. Recuerde
que las ecuaciones estándar de un círculo, elipse e hipérbola son
Círculo:
Elipse:
Hipérbola:
2 2 2
x 1 y 5 r
2 2
x y
1 51
2 2
a b
2 2
⎧ x y
⎪ 2 51
2 2
a b
⎪
⎨o
⎪ 2 2
y x
⎪ 2 51
2 2
⎩⎪
a b
(12)
(13)
(14)
(15)