lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.11 Factorizaciones LU de una matriz 145
En cuyo caso, A tiene una factorización LU pero no es única. Debe verificarse que A no es
invertible.
Por otro lado,
⎛ 1 2 3⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 2 3⎞
B 5
⎜
2 21 4
⎟
5
⎜
2 1 0
⎟ ⎜
0 5 2
2 2 ⎟
5L9 U 9
⎝
⎜ 3 1 7⎠
⎟
⎝
⎜ 3 1 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 0⎠
⎟
y esta factorización es única, aunque B no sea invertible. El lector debe verificar estos datos.
Este ejemplo muestra que si una matriz cuadrada con una factorización LU no es invertible,
su factorización LU puede ser o no única.
FACTORIZACIÓN LU PARA MATRICES NO CUADRADAS
En ocasiones es posible encontrar factorizaciones LU para matrices que no son cuadradas.
TEOREMA 4
Factorización LU para matrices no cuadradas
Sea A una matriz de m 3 n. Suponga que A se puede reducir a su forma escalonada por
renglones sin realizar permutaciones. Entonces existen una matriz L triangular inferior
de m 3 m con unos en la diagonal y una matriz U de m 3 n con u ij
5 0 si i > j tales que
A 5 LU.
Nota. La condición U ij
5 0 si i > j significa que U es triangular superior en el sentido de que
todos los elementos que se encuentran por debajo de la “diagonal” son 0. Por ejemplo, una
matriz U de 3 3 5 que satisface esta condición tiene la forma
⎛ d u u u u
U 5
⎜
0 d u u u
⎝
⎜ 0 0 d u u
1 12 13 14 15
2 23 24 25
3 34 35
mientras que una matriz U de 5 3 3 que satisface esta condición tiene la forma
⎛ d u u ⎞
1 12 13
⎜
0 d u
⎟
⎜ 2 23⎟
U 5 ⎜ 0 0 d ⎟
3
⎜
⎟
0 0 0
⎝
⎜ 0 0 0 ⎠
⎟
⎞
⎟
⎠
⎟
(1)
(2)
La prueba de este teorema no se presenta aquí; su lugar se ilustra con dos ejemplos.
EJEMPLO 7 Factorización LU de una matriz 4 x 3
Encuentre la factorización LU de
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
A 5 ⎜
2 1 2 4 5
⎟
⎜ 6 23 2⎟
⎜
⎟
⎝ 4 1 212⎠