lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.9 Bases ortonormales y proyecciones en R n 389
TEOREMA 1 Si S 5 {v 1
, v 2
, . . . , v k
} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces
S es linealmente independiente.
DEMOSTRACIÓN
Suponga que c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c k
v k
5 0. Entonces, para cualquier i 5 1, 2, . . . , k
0v ( c v c v ⋯ c v ⋯ c v ) v
c ( v v
) c ( v v ) ⋯ c ( v v ) ⋯ c ( v v
)
0
i 1 1 2 2
1 i k k i
1
1 i 2 2 i i i i k k i
2
c 0 c 0⋯ c v ⋯ c 0
c v 2
1 2
i i k i i
Como v i
≠ 0 por hipótesis, |v i
| 2 . 0 y se tiene c i
5 0. Esto es cierto para i 5 1, 2, . . . , k,
lo que completa la prueba.
Ahora se verá cómo cualquier base en
n
se puede “convertir” en una base ortonormal. El
método descrito a continuación se denomina proceso por ortonormalización de Gram-Schmidt. †
TEOREMA 2
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea H un subespacio de dimensión m de n
. Entonces H tiene una base ortonormal. ‡
DEMOSTRACIÓN
Sea S 5 {v 1
, v 2
, . . . , v m
} una base de H. Se probará el teorema construyendo una base
ortonormal a partir de los vectores en S. Antes de dar los pasos para esta construcción,
se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente
no contiene al vector cero (vea el problema 25).
Paso 1. Elección del primer vector unitario
Sea
Entonces
u
u
v v
u
.
1
v v
1 1
1
1
1
1
v
1 (12)
v
1
1
v
1
2
v
1
v 1 1
De manera que |u 1
| 5 1.
Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u 1
En la sección 3.2 (teorema 5, página 237) se vio que, en 2
u v
, el vector w = u 2 ⋅ v es
2
v
ortogonal a v. En este caso u v v es la proyección de u sobre v. Esto se ilustra en la
2
v
figura 4.5.
n
Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en para cualquier
n $ 2. Observe que como u 1
es un vector unitario, v u
u u ( v u ) u para cualquier
vector v.
1 1 1
1
Sea
v9 2
5 v 2
2 (v 2
? u 1
) u 1
(13)
†
Jörgen Pederson Gram (1850-1916) fue un actuario danés que estuvo muy interesado en la ciencia de la medida.
Erhardt Schimdt (1876-1959) fue un matemático alemán.
‡
Observe que H puede ser
n
en este teorema. Es decir,
n
mismo tiene una base ortonormal.