lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz 353
Solución Sea A
1 1 2
3
. Entonces det A 5 0 de manera que ρ(A) , 3. Como la primera columna
4 1 1
no es un múltiplo de la segunda, es evidente que las primeras dos columnas son linealmente
independientes; así ρ(A) 5 2. Para calcular ρ(A, b) se reduce por renglones:
Se ve que ρ(A, b) 5 2 y existe un número infinito de soluciones para el sistema (si hubiera una
solución única se tendría det A ≠ 0).
Los resultados de esta sección permiten mejorar el teorema de resumen, visto por última
vez en la sección 4.5 de la página 314.
TEOREMA 10 Teorema de resumen (punto de vista 6)
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes diez afirmaciones son equivalentes;
es decir, cada una implica a las otras nueve (si una se cumple, todas se cumplen).
i. A es invertible.
ii. La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
iii. El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b.
iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad, I n
, de n 3 n.
v. A se puede expresar como el producto de matrices elementales.
vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
viii. det A ≠ 0.
ix. ν(A) 5 0.
x. ρ(A) 5 n.
Más aún, si una de ellas no se cumple, entonces para cada vector b P n
, el sistema Ax
5 b no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Tiene un número infinito
de soluciones si y sólo si ρ(A) 5 ρ(A, b).
Problemas 4.7
A UTOEVALUACIÓN
Elija la opción que complete correctamente los siguientes enunciados.
⎛ 1 2 ⎞
I I. El rango de la matriz
⎜
0 2 −1 5
⎟
⎝
⎜ 0 0 ⎠
⎟
es _______.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4