lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.9 Bases ortonormales y proyecciones en R n 409
rencia a los errores compuestos o acumulados. Se puede interpretar |x – z| como un error;
por ejemplo, x puede representar los valores teóricos y z una aproximación. Explique
cómo puede verse en las observaciones del inciso c) que el cambio del proceso a las coordenadas
de una base ortonormal no acumula (incrementa) un error que ya está presente.
¿Por qué el cambio de regreso a coordenadas estándar tampoco aumenta el error?
e) (Lápiz y papel) Si Q es una matriz ortogonal y v y w son vectores, pruebe que Qv ? Qw
5 v ? w. Utilice esta demostración para probar que |Qv| 5 |v| y que el coseno del ángulo
entre Qv y Qw es igual al coseno del ángulo entre v y w.
f ) (Lápiz y papel) Pruebe sus observaciones en el inciso c) (explique primero por qué al
encontrar las coordenadas de un vector x respecto a las columnas de Q se obtiene lo
mismo que al multiplicar x por una matriz ortogonal).
15. Matrices de rotación Será necesario haber completado los problemas 9 y 10 de MATLAB
4.8. Si sólo ha terminado el problema 9, se pueden resolver los incisos a) y b) para 2
.
a) Considere la matriz de rotación V en el problema 9b) y las matrices de rotación P, Y y
R del problema 10a) de MATLAB 4.8. Elija un valor para el ángulo de rotación, por
ejemplo, π/4 y verifique (usando el ángulo que eligió) que cada matriz V, P, Y y R es
ortogonal. Repita para otros dos ángulos.
b) (Lápiz y papel) Como una matriz de rotación de n 3 n es ortogonal, las columnas de
la matriz forman una base ortonormal para n
. ¿Por qué? ¿Por qué puede esperarse este
tipo de geometría?
c) (Lápiz y papel) Recuerde que en el problema 10 de MATLAB 4.8, la posición de la
nave se encuentra haciendo las maniobras de inclinación, desviación y giro en algún
orden. Esto lleva a una matriz de posición que se forma con el producto de algunas de
las matrices de rotación P, Y y R. Explique por qué la matriz de posición es una matriz
ortogonal.
d) Suponga que la orientación original de un satélite está dada por las maniobras de inclinación,
desviación y giro de manera que su matriz de posición es ortogonal. El centro
de control (orientado a lo largo de las coordenadas estándar) verifica periódica mente la
posición del satélite pidiéndole las lecturas (en coordenadas del satélite) de objetos con
localización conocida en el centro de control.
Cierto satélite envía las siguientes lecturas (que se ajustan para tomar en cuenta las
distintas localizaciones del centro de control y del satélite):
7017
v 1
.. 7017
0
.
2130
v 2
. 2130
. 9093
1
para un objeto en
0
0
0
para un objeto en
1
0
(coordenadas estándar)
(coordenadas estándar)
v
3
. 1025
.
4125
. 0726
para un objeto en
0
0
1
(coordenadas estándar)
Explique por qué el centro de control está al corriente de que algo no funciona con
el satélite [sugerencia: explique primero por qué la matriz [v 1
v 2
v 3
] debe ser igual a A 21 I,