lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 435
y
||v i
|| 5 ( v , v ) 5 1 (5)
i i
Si sólo (4) se cumple, se dice que el conjunto es ortogonal.
TEOREMA 1
Cualquier conjunto finito de vectores ortogonales diferentes de cero en un espacio con
producto interno es linealmente independiente.
TEOREMA 2
Cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno
se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt.
En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.
EJEMPLO 8 Una base ortonormal P 2
[0, 1]
CÁLCULO
Solución
Construya una base ortonormal para P 2
[0,1].
Se comienza con la base estándar {1, x, x 2 }. Como P 2
[0, 1] es un subespacio de C[0, 1], se puede
usar el producto interno del ejemplo 4. Como 1 2 dx 1, se hace u
0
1
5 1. Después v9 2
5 v 2
2
1 1
1
(v 2
, u 1
)u 1
. En este caso (v 2
, u 1
) 5 ( x1) dx .Asi, x x .
2
2 1 1
v Luego se calcula
0
2
2
⎛ 1 ⎞
Entonces u 2
5 2 3 x 2 5
⎝
⎜ 2 ⎠
⎟
12 /
2
12 /
x 1 1
x 1
dx 1 2 1
x x
2
dx 1 1
0
2
0
4
12 2 3
1 1
2
Se tiene (v 3
, u 1
) 5 x dx
0 3
y
Así,
y
3(2x 21). Así
v9 3
5 v 3
2 (v 3
, u 1
)u 1
2 (v 3
, u 2
)u 2
1
2
3 2
( v , u ) 3 x ( 2x 1) dx 3 ( 2x x ) dx
3 2
0
v 2 1 3
x x
2
x x 1
3 ( 2 1)
3
3 6
6
2
1
2 1
v 3
x x
dx
0
6
1
4 3 4 2 x 1
x 2x x
0
3 3 36
dx
12 /
4 3 2
1
x 5 x 4x
x x
5 2 9 6 36
0
1 1
180 6 5
1
12 /
1
0
1/
2
3
6