lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

450 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
espacio
n
5 {x 1
, x 2
, . . . , x n
}: x i
P para i 5 1, 2, . . . , n}. (p. 282)
espacio P n
5 {polinomios de grado menor que o igual a n}. (p. 284)
espacio C[a, b] 5 {funciones reales continuas en el intervalo [a, b]}.
espacio M mn
5 {matrices de m 3 n con coeficientes reales}. (p. 285)
espacio
n
5 {(c 1
, c 2
, . . . , c n
): c i
P para i 5 1, 2, . . . , n}. denota el conjunto de números
complejos. (p. 285)
subespacio H de un espacio vectorial V es un subconjunto de V que es en sí un espacio vectorial. (p. 293)
H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos siguientes
reglas se cumplen:
iii. Si x P H y y P H, entonces x 1 y P H.
iii. Si x P H, entonces ax P H para cada escalar a. (p. 293)
subespacio propio de un espacio vectorial V es un subespacio de V diferente de {0} y de V. (p. 294)
combinación lineal de los vectores v 1
, v 2
, . . . , v n
es un espacio vectorial V es la suma de la
forma (p. 299)
a 1
v 1
1 a 2
v 2
1 . . . 1 a n
v n
donde a 1
, a 2
, . . . , a n
son escalares.
v 1
, v 2
, . . . , v n
en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en
V se puede expresar como una combinación lineal de v 1
, v 2
, . . . , v n
. (p. 300)
espacio generado por un conjunto de vectores v 1
, v 2
, . . . , v k
en un espacio vectorial V es el
conjunto de combinaciones lineales de v 1
, v 2
, . . . , v k
. (p. 301)
v 1
, v 2
, . . . , v k
} es un subespacio de V. (p. 301)
Dependencia e independencia lineal
Se dice que los vectores v 1
, v 2
, . . . , v n
en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si
existen escalares c 1
, c 2
, . . . , c n
no todos cero tales que (p. 314)
c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
5 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
V son linealmente dependientes si y sólo si uno es múltiplo
escalar del otro. (p. 315)
n vectores linealmente independientes en
n
genera a n
. (p. 320)
n vectores en
m
es linealmente independiente si n . m. (p. 321)
Base
Un conjunto de vectores v 1
, v 2
, . . . , v n
es una base para un espacio vectorial V si (p. 332)
iii. {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es linealmente independiente.
iii. {v 1
, v 2
, . . . , v n
} genera a V.
n vectores linealmente independiente en
n
es una base en n
. (p. 332)
base canónica en
n
consiste en n vectores (p. 332)