lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

678 CAPÍTULO 1
31. Sea B 5LM , b 5 l m . Como L y M
n
∑
ii ik ki
k 51
son triangulares inferiores con unos en la
diagonal principal, se tienen las siguientes
condiciones: l ik
50 si k. i, m ik
50 si i. k,
l ii
5 1 si m ii
51. Por lo que si k . i o i.
k
tenemos l ik
m ki
50. Si k5 ise tiene l ii
m ii
51.
n
De modo que b 5 l m
ii ∑ 51. Por otro
ik ki
n
k 51
lado, b 5 l m
ij ∑ , m
ik kj kj
50 si j. k, l ik
50
k 51
si k. i. Suponga que j. i. Si k # i, entonces
k, j y por lo tanto m kj
50. Si
k. i entonces l ik
50. Entonces si j. i,
lm ik kj
50 y por lo tanto b ij
50. Por lo que
LM es una matriz triangular inferior con
unos en la diagonal principal.
⎛ 1 0 0⎞
⎛21 2 1⎞
33. A 5
⎜
22 1 0
⎟ ⎜
0 0 0
⎟
, x ∈R
⎝
⎜24 x 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 0⎠
⎟
⎛
35. A5 1 0 ⎞ ⎛ 1 2⎞
⎝
⎜
2 1⎠
⎟
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎛ 1 0 0 0⎞
⎛21 1 4 6⎞
⎜
37. A5 2 2 1 0 0
⎟ ⎜
0 1 8 14
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 0 3 1 0⎟
⎜ 0 0 223 237⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝21 4 1 1⎠
⎝ 0 0 0 0⎠
⎛ 1 0 0 0⎞
⎛ 2
⎜ 3
1 0 0
⎟ ⎜
2
39. ⎜
⎟ ⎜
0
1
⎜ 1 1 0⎟
⎜ 0
2
⎜
⎟ ⎜
⎝ 2 2 c 1⎠
⎝ 0
21
7
2
0
0
1 7⎞
1 9
2 2 ⎟ 2 2 ⎟⎟⎟
0 0
0 0⎠
donde c es cualquier número real.
⎛ 1 0 0 0⎞
⎜ 4
⎟
1 0 0
41. L 5 ⎜ 3
⎟ ;
⎜ 2 2 2 3 1 0⎟
⎜ 2
⎝ 24 0 1⎟
3
⎠
⎛ 3 22 21 2⎞
⎜ 17 1 14
0 2 ⎟
U 5
3 3 3
⎜
⎟ ;
0 0 4 0
⎝
⎜
0 0 0 0⎠
⎟
⎛ 1 0 0 0⎞
⎜ 0 1 0 0⎟
P 5 ⎜
⎟
⎜ 0 0 0 1⎟
⎝ 0 0 1 0⎠
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 2 1⎞
43. L5 ⎜ 1
2 1 0
⎟
9
; U 5
⎜
0
⎟
2
2
2
⎝
⎜ 3 2 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0⎟
⎠
⎛ 1 0 0⎞
45. L 5
⎜ 1
1 0
⎟
;
2
3
⎝
⎜ 1⎠
⎟
4
11
6
⎛ 4 21 2 1⎞
U 5
⎜ 3
9
0 5
⎟
2
2
35
⎝
⎜ 0 0 2 ⎠
⎟
3
3
2
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜
21 1 0 0 0
⎟
⎜
⎟
1
47. L 5 ⎜ 2 2 1 0 0⎟
, j ∈ R;
8
⎜
1 6
⎟
⎜21 1 0
4 23
⎟
9 9
⎝
⎜24 j 1⎠
⎟
8
23
⎛21 2 1 ⎞
⎜
0 8 6
⎟
⎜
⎟
23
U 5 ⎜ 0 0 ⎟
4
⎜
⎟
0 0 0
⎝
⎜ 0 0 0 ⎠
⎟
49. La factorización L de la matriz da por resultado:
[[ 16 0 0 0 ]
[ 4 10.75 0 0 ]
[ 13 22.0625 14.9534883721 0 ]
[ 2 21.625 8.72093023256 8.29237947123 ]]