lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

528 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
n n
n
p( λ) 52 ( 1)
λ 1b
2
λ
2 1
⎡
11b λ 1b
⎤
⎣
5
n 1
⎦
1 0
0
(9)
La ecuación (9) tiene n raíces, algunas de ellas repetidas. Si λ 1
, λ 2
, … , λ m
son las diferentes raíces
de (9) con multiplicidades r 1
, r 2
, … , r m
‚ respectivamente, entonces (9) se puede factorizar para
obtener
1
( 21) n p( λ) 5( λ2 λ ) r ( λ2
λ ) r2
r
( λ2 λ ) m
50
(10)
1 2
m
MULTIPLICIDAD
ALGEBRAICA
Los números r 1
, r 2
, … , r m
se denominan multiplicidades algebraicas de los valores característicos
λ 1
, λ 2
, … , λ m
, respectivamente.
Ahora es posible calcular los valores característicos y sus espacios característicos correspondientes.
Para esto se realiza un procedimiento de tres pasos:
Procedimiento para calcular valores característicos y vectores característicos
i. Se encuentra p(λ) 5 det (A 2 λI).
ii. Se encuentran las raíces λ 1
, λ 2
, … , λ m
de p(λ) 5 0.
iii. Se resuelve el sistema homogéneo (A 2 λ i
I)v 5 0, correspondiente a cada valor característico
λ i
.
Observación 1. Por lo general el paso ii) es el más difícil.
Observación 2. En los problemas 40 y 41 se sugiere una manera relativamente sencilla de encontrar
los valores y vectores característicos de matrices de 2 3 2.
EJEMPLO 3
Cálculo de valores y vectores característicos
⎛
Sea A5 4 2 ⎞
⎝
⎜
3 3⎠
⎟ . Entonces A2 I 5 4 2 λ 2
det ( λ )
3 32
λ 5 (4 2 λ) (3 2 λ) 2 6 5 λ2 2 7λ 1 6 5
(λ 2 1) (λ 2 6). Entonces los valores característicos de A son λ 1
5 1 y λ 2
5 6. Para λ 1
5 1 se
⎛ 3 2⎞
⎛ x ⎞ ⎛
1
0⎞
resuelve (A 2 I)v 5 0 o
⎝
⎜
3 2⎠
⎟ ⎜
⎝ x
⎟ 5
2 ⎠ ⎝
⎜
0⎠
⎟ . Es claro que cualquier vector característico correspondiente
a λ 1
⎛ 2⎞
5 1 satisface 3x l
1 2x 2
5 0. Un vector característico de este tipo es v 5
1
⎝
⎜ 2 3⎠
⎟ . Así,
⎧⎪
⎛ 2⎞
⎫⎪
E 5 gen
1
⎨
⎝
⎜
23⎠
⎟ ⎬
⎩⎪ ⎭⎪ . De manera similar, la ecuación (A 2 6I)v 5 0 significa que ⎛22 2⎞
⎛ x ⎞ ⎛ ⎞
1
⎝
⎜
3 23⎠
⎟ ⎜
⎝ x ⎟ 5 0
2 ⎠ ⎝
⎜
0⎠
⎟
⎛ ⎞
o x 1
5 x 2
. Entonces v 5 1 2
⎝
⎜
1⎠
⎟ es un vector característico correspondiente a λ 2
5 6 y E 6
5 gen
⎧⎪
⎛1⎞
⎫
⎨
⎝
⎜
⎠
⎟
⎪ ⎬
⎩⎪ 1 ⎭⎪ . Observe que v y v son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro.
1 2
Nota. No es importante si se establece λ 1
5 1 y λ 2
5 6 o λ 1
5 6 y λ 2
5 1. Los resultados no cambian,
en el sentido que para un valor característico dado corresponde un vector característico
en particular.