lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

520 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
T: V S W una transformación lineal y suponga que dim V 5 dim W 5 n: (p. 504)
i. Si T es 1-1, entonces T es sobre.
ii. Si T es sobre, entonces T es 1-1.
T: V S W una transformación lineal. Suponga que dim V 5 n y dim W 5 m. Entonces (p. 504)
i. Si n . m, T no es 1-1.
ii. Si m . n, T no es sobre.
Isomorfismo
Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es 1-1 y sobre. (p. 506)
Espacios vectoriales isomorfos
Los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W. En este
caso, se escribe V _ W. (p. 506)
isomorfos. (p. 506)
Teorema de resumen
Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes 11 afirmaciones son equivalentes: (p. 506)
i. Es invertible.
ii. La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0).
iii. El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b.
iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad, I n
, de n 3 n.
v. A se puede expresar como el producto de matrices elementales.
vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
vii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
viii. det A ≠ 0.
ix. ν(A) 5 0.
x. ρ(A) 5 n.
n n
xi. La transformación lineal T de en definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo.
T: V S W un isomorfismo: (p. 507)
i. Si v 1
, v 2
, . . . , v n
genera a V, entonces Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
genera a W.
ii. Si v 1
, v 2
, . . . , v n
son linealmente independientes en V, entonces Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
son linealmente
independentes en W.
iii. Si {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es una base en V, entonces {Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
} es una base en W.
iv. Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W.
Isometría
n n n
Una transformación lineal T: S se llama isometría si para todo x en (p. 511)
|Tx| 5 |x|