lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.6 Bases y dimensión 339
Problemas 4.6
A UTOEVALUACIÓN
Indique cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos
I. Cualesquiera tres vectores en
3
forman una base para 3
.
3
II. Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en forman una base para 3
.
IIII. Una base en un espacio vectorial es única.
IV. Sea H un subespacio propio de 4
. Es posible encontrar cuatro vectores linealmente
independientes en H.
x
V. Sea H
y
: 2x 11y 17z
0 . Entonces dim H 5 2.
z
VI. Sea {v 1
, v 2
, . . . , v n
} una base para el espacio vectorial V. Entonces no es posible
encontrar un vector v P V tal que u F gen {v 1
, v 2
, . . . , v n
}.
VII.
⎧⎪
⎛ 2 0⎞
⎛ 0 3⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫⎪
⎨
⎝
⎜
0 0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
0 0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
−7 0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
0 12⎠
⎟ ⎬
⎩⎪
⎭⎪
es una base para M 22
.
De los problemas 1 al 13 determine si el conjunto dado es una base para el espacio vectorial a
que se refiere.
1. En P 2
: 1 2 x 2 , x 2. En P 2
: 23x, 1 1 x 2 , x 2 2 5
3. En P 2
: 22x, x 1 3x 2 , x 1 2 4. En P 2
: x 2 2 1, x 2 2 2, x 2 2 3
5. En P 3
: 1, 1 1 x, 1 1 x 2 , 1 1 x 3 6. En P 3
: 1 1 x, 2 1 x 2 , 3 1 x 3 , 1
7. En P 3
: 3, x 3 2 4x 1 6, x 2
⎛ 3 1⎞
⎛ 3 2⎞
⎛ −5 1⎞
⎛ ⎞
8. En M 22
: , , ,
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎝
⎜
⎠
⎟
⎝
⎜
0 −7⎠
⎟
⎛
9. En M a 0⎞
⎛ 0 b ⎞ ⎛ 0 0⎞
⎛ 0 0⎞
: , , ,
22
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
⎝
⎜
c 0⎠
⎟
⎝
⎜
0 d⎠
⎟ , donde abcd ≠ 0
⎛ −1 0⎞
⎛ 2 1⎞
⎛ −6 1⎞
⎛ 7 −2⎞
⎛ 0 1⎞
10. En M 22
: , , ,
⎝
⎜
⎠
⎟
⎝
⎜
1 4⎠
⎟
⎝
⎜
⎠
⎟
⎝
⎜
1 0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
0 0⎠
⎟
11. H 5 {(x, y) P 2
: x 2 y 5 0}; (1, 1), (4, 4)
12. H 5 {(x, y) P 2
: x 1 y 5 0}; (1, 21)
13. H 5 {(x, y) P 2
: x 1 y 5 0}; (1, 21), (23, 3)
3
14. Encuentre una base en para el conjunto de vectores en el plano 2x 2 y 2 z 5 0.
3
15. Encuentre una base en para el conjunto de vectores en el plano 3x 2 2y 1 z 5 0.
16. Encuentre una base en
3
para el conjunto de vectores en la recta x/2 5 y/3 2 z/4 5 0.
17. Encuentre una base en
3
para el conjunto de vectores en la recta x 5 3t, y 5 22t, z 5 t.
18. Demuestre que los únicos subespacios propios en
2
son rectas que pasan por el origen.