lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

140 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
o
x 4
5 1
3x 3
5 12 2 9x 4
5 3, de manera que x 3
5 1
4x 2
5 216 1 8x 3
1 8x 4
5 0, de manera que x 2
5 0
2x 1
5 4 2 3x 2
2 2x 3
2 4x 4
5 22, por lo que x 1
5 21
La solución es
⎛ 21⎞
⎜
0
⎟
x 5 ⎜ ⎟
⎜ 1⎟
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
LA FACTORIZACIÓN PA 5 LU
Suponga que con el propósito de reducir A a una matriz triangular se requiere alguna permutación.
Una matriz de permutación elemental es una matriz elemental asociada con la operación
con renglones R i
N R j
. Suponga que, de momento, se sabe por anticipado cuáles permutaciones
deben realizarse. Cada permutación se lleva a cabo multiplicando A por la izquierda por una
matriz de permutación elemental denotada por P i
. Suponga que en la reducción por renglones
se realizan m permutaciones. Sea
P 5 P n
P n21
… P 2
P 1
El producto de las matrices de permutaciones elementales se llama matriz de permutación. De
forma alternativa, una matriz de permutación es una matriz n 3 n cuyos renglones son los renglones
de I n
, pero no necesariamente en el mismo orden.
Ahora, hacer las n permutaciones de antemano es equivalente a multiplicar A por la izquierda
por P. Es decir,
PA es una matriz que debe ser reducida por renglones a una matriz triangular superior sin
realizar permutaciones adicionales.
EJEMPLO 3
Una factorización PA 5 LU
Para reducir A por renglones a la forma triangular superior, primero se intercambian los renglones
1 y 3 y después se continúa como se muestra a continuación
⎛ 0 2 3⎞
A5
⎜
2 24 7
⎟
⎝
⎜ 1 22 5⎠
⎟
Al realizar esta reducción por renglones se hicieron dos permutaciones. Primero se intercambiaron
los renglones 1 y 3 y después los renglones 2 y 3.
⎛ 0 2 3⎞
⎛ 1 22 5⎞
⎛ 1 22 5⎞
⎛ 1 22 5⎞
⎜
2 24 7
⎟ R1
R3
⎯⎯⎯→
⎜
2 24 7
⎟ R2→R222
R1
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ R2R3
0 0 23
⎯⎯⎯→
⎜
0 2 3
⎟
⎝
⎜ 1 22 5⎠
⎟
⎝
⎜ 0 2 3⎠
⎟
⎝
⎜ 0 2 3⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 23⎠
⎟