lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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254 CAPÍTULO 3 Vectores en R 2 y R 3 MANEJO DE LA CALCULADORA Las instrucciones para calculadora presentadas en las secciones 3.1 y 3.2 para vectores 2 en se extienden a 3 , con la observación que ahora se tienen coordenadas esféricas además que cilíndricas y cartesianas para representar vectores. Resuelva los siguientes problemas en una calculadora. En los problemas 53 al 56 encuentre la magnitud y dirección de cada vector. 53. (0.2316, 0.4179, 20.5213) 54. (22356, 28194, 3299) 55. (17.3, 78.4, 28.6) 56. (0.0136, 20.0217, 20.0448) En los problemas 57 al 60 calcule proy v u. 57. u 5 (215, 27, 83); v 5 (284, 277, 51) 58. u 5 (20.346, 20.517, 20.824); v 5 (20.517, 0.811, 0.723) 59. u 5 (5241, 23199, 2386); v 5 (1742, 8233, 9416) 60. u 5 (0.24, 0.036, 0.055); v 5 (0.088, 20.064, 0.037) 3.4 EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES Hasta el momento el único producto de vectores que se ha considerado ha sido el producto escalar o producto punto. Ahora se define un nuevo producto, llamado producto cruz (o producto vectorial), que está definido sólo en R 3 . Nota histórica. El producto cruz fue definido por Hamilton en uno de una serie de artículos publicados en Philosophical Magazine entre los años 1844 y 1850. DEFINICIÓN 1 Producto cruz Sean u 5 a 1 i 1 b 1 j 1 c 1 k y v 5 a 2 i 1 b 2 j 1 c 2 k. Entonces el producto cruz (cruz vectorial) de u y v, denotado por u 3 v, es un nuevo vector definido por u v ( bc cb ) i( ca ac ) j( ab ba ) k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1) Note que el resultado del producto cruz es un vector, mientras que el resultado del producto escalar es un escalar. Aquí el producto cruz parece estar definido de una manera arbitraria. Es evidente que existen muchas maneras de definir un producto vectorial. ¿Por qué se escogió esta definición? La respuesta a esta pregunta se da en la presente sección demostrando algunas propiedades del producto cruz e ilustrando algunas de sus aplicaciones. EJEMPLO 1 Cálculo del producto cruz de dos vectores Sean u 5 i 2 j 1 2k y v 5 2i 1 3j 2 4k. Calcule w 5 u 3 v.
3.4 El producto cruz de dos vectores 255 Solución Usando la fórmula (1) se obtiene w 5 [(21)(24) 2 (2)(3)]i 1 [(2)(2) 2 (1)(24)]j 1 [(1)(3) 2 (21)(2)]k 5 22i 1 8j 1 5k Nota. En este ejemplo u ? w 5(i 2 j 1 2k) ? (22i 1 8j 1 5k)5 22 2 8 1 10 5 0. De manera similar, v ? w 5 0. Es decir, u 3 v es ortogonal tanto a u como a v. Como se verá en breve, el producto cruz de u y v es siempre ortogonal a u y v. Antes de continuar el estudio de las aplicaciones del producto cruz se observa que existe una forma sencilla de calcular u 3 v usando determinantes. TEOREMA 1 i j k u v a b c 1 1 1 a b c 2 2 2 † DEMOSTRACIÓN i j k a b c 1 1 1 a b c 2 2 2 b i b c 1 1 c 2 2 a j a c 1 1 c 2 2 ( bc cb ) i ( ca ac ) j ( ab ba ) k 1 2 1 2 1 2 k a a b 1 1 b 2 2 1 2 1 2 1 2 que es igual a u 3 v según la definición 1. EJEMPLO 2 Uso del teorema 1 para calcular un producto cruz Calcule u 3 v, donde u 5 2i 1 4j 2 5k y v 5 23i 2 2j 1 k. Solución i j k u × v = 2 4 −5 = ( 4 −10) i − ( 2 − 15) j + ( 24 + 12) k −3 −2 1 = − 6i + 13j + 8k El siguiente teorema resume algunas propiedades del producto cruz. Su demostración se deja como ejercicio (vea los problemas 38 al 41 de esta sección). TEOREMA 2 3 Sean u, v y w tres vectores en y sea α un escalar, entonces: i. u 3 0 5 0 3 u 5 0. ii. u 3 v 5 2(v 3 u) (propiedad anticonmutativa para el producto vectorial). iii. (αu) 3 v 5 α(u 3 v). iv. u 3 (v 1 w) 5 (u 3 v) 1 (u 3 w) (propiedad distributiva para el producto vectorial). v. (u 3 v) ? w 5 u ? (v 3 w). (Esto se llama triple producto escalar de u, v y w.) vi. u ? (u 3 v) 5 v ? (u 3 v) 5 0. (Es decir, u 3 v es ortogonal a u y a v.) vii. Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos si y sólo si u 3 v 5 0. † En realidad no se tiene un determinante porque i, j y k no son números. Sin embargo, al usar la notación de determinantes, el teorema 1 ayuda a recordar cómo calcular un producto cruz.
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