lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.8 Inversa de una matriz cuadrada 107
Observación. Si la forma escalonada por renglones de A tiene n-pivotes, entonces tiene la siguiente
forma:
⎛ 1 r r r ⎞
12 13 1n
⎜
⎟
⎜ 0 1 r r
23 2n
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 r3
n ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 1 ⎠
Es decir, R es una matriz con unos en la diagonal y ceros debajo de ella.
Para verificar que B 5 A 21 se debe comprobar que AB 5 BA 5 I. Resulta que sólo se tiene
que hacer la mitad de este trabajo.
(17)
TEOREMA 7
DEMOSTRACIÓN
Sean A y B matrices de n 3 n. Entonces A es invertible y B 5 A 21 ya sea si i ) BA 5 I o
si ii ) AB 5 I.
i. Se supone que BA 5 I. Considere el sistema homogéneo Ax 5 0. Si se multiplican
por la izquierda ambos lados de esta ecuación por B, se obtiene
BAx 5 B0 (18)
Pero BA 5 I y B0 5 0, de manera que (18) se convierte en Ix 5 0 o x 5 0. Esto
muestra que x 5 0 es la única solución a Ax 5 0 y por el teorema 6, incisos i ) y ii ),
esto quiere decir que A es invertible. Todavía debe demostrarse que B 5 A 21 . Sea
A 21 5 C. Entonces, AC 5 I. Así
BAC 5 B(AC) 5 BI 5 B
Por lo tanto, B 5 C y el inciso i ) queda demostrado.
y BAC 5 (BA)C 5 IC 5 C
ii. Sea AB 5 I. Entonces del inciso i ), A 5 B 21 . De la definición 2 esto significa que
AB 5 BA 5 I, lo que prueba que A es invertible y que B 5 A 21 . Esto completa la
demostración.
Problemas 1.8
A UTOEVALUACIÓN
I. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta
a) Toda matriz cuadrada tiene inversa.
b) Una matriz cuadrada tiene inversa si su reducción por renglones lleva a un renglón
de ceros.
c) Una matriz cuadrada es invertible si tiene inversa.
d) Una matriz cuadrada B es la inversa de A si AI 5 B.
II. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre un sistema de ecuaciones en forma
de matriz?
a) Es de la forma A 21 x 5 b.
b) Si tiene una solución única, la solución será x 5 A 21 b.