lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

582 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
En
3
la superficie definida por (25) se denomina elipsoide (vea la figura 6.3).
z
Figura 6.3
El elipsoide 5x 2 1 8xy 1
5y 2 1 4xz 1 4yz 1
2z 2 5 100, que se puede
escribir en las nuevas
variables como
x9 2 1 y9 2 1 10z9 2 5 100.
x
0
y
y9 1 y9 1 z9 5
Existe una gran variedad de superficies de tres dimensiones de la forma Av ? v 5 d, donde v ∈
2
. Esas superficies se denominan superficies cuadráticas.
Podemos cerrar esta sección con la observación de que las formas cuadráticas se pueden
definir en términos de cualquier número de variables.
DEFINICIÓN 2
Forma cuadrática
⎛ x ⎞
1
⎜ ⎟
x2
Sea v 5 ⎜ ⎟ y sea A una matriz simétrica de n 3 n. Entonces una forma cuadrática en x
⎜ ⋮ ⎟
1
,
⎜ ⎟
⎝ x n ⎠
x 2
, . . . , x n
es una expresión de la forma
F(x 1
, x 2
, . . . , x n
) 5 Av ? v (26)
EJEMPLO 6
Una forma cuadrática en cuatro variables
⎛ 2
⎜
1
Sea A 5 ⎜
⎜ 2
⎜
⎝22
Entonces
Av ⋅ v
1
24
6
5
2
6
7
21
22
⎞
5
⎟
⎟
21⎟
⎟
3⎠
⎛ x ⎞
1
⎜ ⎟
⎜
x2
y v 5 ⎟
⎜ x ⎟
3
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
⎡⎛
2 1 2 22
⎞ ⎛ x ⎞ ⎤ ⎛ x ⎞
1 1
⎢⎜
1 2
⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟
⎢ 4 6 5
5 ⎜
⎟ ⎜
x x
2 ⎟ ⎥ 2
⎢⎜
2 6 7 21⎟
⎜ x ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ ⎟
⎜ x ⎟
⎢
3 3
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟
⎣
⎢⎝22
5 21
3⎠
⎝ x x
4 ⎠ ⎦
⎥ ⎝ 4 ⎠
⎛ 2x 1 x 12x 22x
⎞ ⎛ x ⎞
1 2 3 4 1
⎜
⎟ ⎜ ⎟
x 24x 16x 15x
1 2 3 4
5 ⎜
⎟ ⎜
x2
⎟
⎜ 2x 16x 17x 2 x ⎟ ⎜ x ⎟
1 2 3 4 3
⎜ ⎟
⎝
⎜22x 15x 2 x 13x
⎠
⎟
⎝ x ⎠
1 2 3 4
4
4