lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

708 CAPÍTULO 4
19. a) Suponga que (x 1
, y 1
, z 1
, w 1
) y (x 2
, y 2
, z 2
,
w 2
) están en H. Entonces, a(x 1
1 x 2
) 1
b(y 1
1 y 2
) 1 c(z 1
1 z 2
) 1 d(w 1
1 w 2
)
5 ax 1
1 by 1
1 cz 1
1 dw 1
1 ax 2
1 by 2
1 cz 2
1 dw 2
5 0 y a(αx 1
) 1 b(αy 1
) 1
c(αz 1
) 1 d(αw 1
) 5 α(ax 1
1 by 1
1 cz 1
1
dw 1
) 5 0.
Por tanto, H es un subespacio de R 4 .
b) Dado que abcd ≠ 0, a es diferente de
cero. Entonces,
21.
⎛ x ⎞ ⎛2( by 1cz 1dw)/
a⎞
⎜
⎜
y
⎟ ⎜
⎟
y
⎟
5 ⎜
⎟ 5
⎜ z ⎟ ⎜
z ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ w⎠
⎝
w⎠
⎛2b/ a⎞
⎛2c/
a⎞
⎛2d
/ a⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
1
y
⎟ 1 z ⎜
0
⎜
⎟ ⎜
0
⎟
1 w
⎟ .
⎜ 0⎟
⎜ 1⎟
⎜ 0⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
Por tanto, una base para H es
⎧⎛2b/
a⎞
⎛2c/
a⎞
⎛2d / a⎞
⎫
⎜
⎟
⎜
1
⎜
⎟
0
⎟ ⎜
0
⎟
⎪
, ⎜
⎟ , ⎜
⎟
⎪
⎨
⎬.
⎪⎜
0⎟
⎜ 1⎟
⎜ 0⎟
⎪
⎪⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎩⎝
0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
⎪
⎭
c) dim H 5 3
⎛ x ⎞ ⎛
x ⎞
1
1
⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
x
x
⎜
⎜ 2⎟
2 0
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ x ⎟ 5 ⎜
x ⎟ 5x
⎜0⎟
1
3
3 1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜x
⎟ ⎜
x ⎟ 0
4
4
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ x ⎠ ⎝2x 23x 1x
14x
⎠ ⎝
⎜2
⎠
⎟
5
1 2 3
⎛ 0⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
⎜
1
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
0
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x 2
⎜ 0⎟
1x ⎜1⎟
1x 3
4
⎜0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎝
⎜23
⎠
⎟
⎝
⎜1
⎠
⎟
⎝
⎜4
⎠
⎟
Por tanto, los vectores
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
⎜
0
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
0
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0⎟
, ⎜ 0⎟
, ⎜1⎟
y ⎜0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎝
⎜2
⎠
⎟
⎝
⎜23
⎠
⎟
⎝
⎜1
⎠
⎟
⎝
⎜4
⎠
⎟
forman una base para H.
4
⎛ 1 22
| 0 ⎞ 1 0
23. ⎜
⎟ → ⎛
⎝ 3 1 0 ⎠ ⎝ ⎜
|
| 0 1 |
25.
0 ⎞
⎟ .
0 ⎠
La solución es el subespacio trivial.
⎧⎛22⎞
⎫
⎪⎜
23
⎟ ⎪
⎨
⎬
⎪
⎝
⎜ 1⎠
⎟ ⎪
⎩ ⎭
27. El espacio solución es el trivial.
⎧⎛
1 0 0⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎫
⎪
29.
⎜
0 0 0
⎟
, ⎜
0 1 0
⎟
, ⎜
0 0 0
⎟ ⎪
⎨
⎬;
⎪
⎝
⎜ 0 0 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 1⎠
⎟ ⎪
⎩
⎭
genera a D 53.
3
31. Sean A H S nn
y B H S nn
. Entonces, A 1
B 5 A t 1 B t 5 (A 1 B) t . Por lo tanto, A
1 B H S nn
. Además, αA 5 αA t 5 (αA) t .
Así que αA ∈ S nn
. En virtud del teorema
4.3.1, S nn
es un subespacio de M nn
. Para i
# j, sea b ij
la matriz n 3 n con b ij
5 b ji
5 1
y 0 en cualquier lado. Observe que ambas
B ij
son simétricas y linealmente independientes,
y cada matriz simétrica se puede
escribir como una combinación lineal de
B ij
. Por tanto, {B ij
: 1 # i # j # n} es una
base para S nn
y gen S nn
5 n 1 (n 2 1) 1
(n 2 2) 1 . . . 1 2 1 1 5 ∑ n
nn ( 11)
k 5
k51
2
.
33. En virtud del problema 4.5.55, son linealmente
independientes. En virtud del teorema
5, constituyen una base para V.
35. Suponga que existe v ∈ K tal que v F H.
Sea {u 1
, u 2
, . . . , u n
} una base para H. Entonces,
{u 1
, u 2
, . . . , u n
, v} es un conjunto
linealmente independiente contenido en
K. Esto implica que dim K $ n 1 1 . n 5
dim H, lo cual es una contradicción. Por
lo tanto H 5 K.
37. Si H 5 V, entonces K 5 {0}. Si H 5 {0},
entonces K 5 V. Suponga que H es un
subespacio propio. Sea {v 1
, v 2
, . . . , v k
}
una base para H y sea dim V 5 n. En
virtud del problema 32, existen vectores
{v k 11
, v k 12
, . . . , v n
}, tal que {v 1
, v 2
, . . . ,
v n
} es una base para V. Sea k 5 gen {v k 11
,
v k 12
, ..., v n
. Resulta evidente que H 1 K
5 V. Suponga que v ∈ H ∩ K. Entonces,