lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 437
DEFINICIÓN 5 Complemento ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento
ortogonal de H, denotado por H ' , está dado por
H ' 5 {x P V: (x, h) 5 0 para toda h P H} (7)
TEOREMA 4
Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces
i. H ' es un subespacio de V.
ii. H ∩ H ' 5 {0}.
iii. dim H ' 5 n 2 dim H si dim V 5 n , q.
TEOREMA 5
Teorema de proyección
Sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga
que v P V. Entonces existe un par único de vectores h y p tales que h P H, p P H ' , y
donde h 5 proy H
v.
Si V tiene dimensión finita, entonces p 5 proy H
' v.
v 5 h 1 p (8)
Observación. Si se estudia la prueba del teorema 4.9.7, se verá que (8) se cumple incluso si V
tiene dimensión finita. La única diferencia es que si la dimensión de V es infinita, entonces H '
tiene dimensión infinita (porque H es de dimensión finita), entonces, proy H
' v no está definida.
TEOREMA 6
Sea A una matriz de n 3 n; entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes
si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad
algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si
todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de
cada valor propio es 1).
EJEMPLO 10 Cálculo de una proyección sobre P 2
[0, 1]
CÁLCULO
Como P 2
[0, 1] es un subespacio de dimensión finita de C[0, 1], se puede hablar de proy f si
P2 [0, 1]
f ∈ C[0, 1]. Si f (x) 5 e x , por ejemplo, se calcula proy P2 [0, 1] ex . Como {u 1
, u 2
, . . . , u n
} 5 {1, 3
(2x 21), entonces 5/(6x 2 26x 1 1)} es una base ortonormal en P 2
[0, 1], por el ejemplo 8, y se
tiene
x x x
proy e ( e , 11 ) ( e , 3( 2x 1)) 3( 2x
1)
P2
01 ,
( e x
2 2
, 5 ( 6x 6x 1)) 5 ( 6x 6x
1)