lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 755
47. Buscamos los números z5α1iβ tal que
z52 z , por lo tanto z52z ⇒α1iβ5
2( α1iβ) ⇒ α1iβ52( α2iβ) ⇒ α50,
esto significa que los únicos números que
tienen la propiedad z52 z son aquellos
que su parte real es cero, es decir, z es un
imaginario puro.
49. La ecuación de una circunferencia centrada
en el origen de radio unitario se puede
2 2
escribir como x 1y
51. Sea z5x1
iy
entonces | z|
2 5 zz 5 (x 1 iy)(x 1 iy) 5
x 2 1 y 2 ; por lo tanto un círculo unitario se
puede representar por | z | 51.
51. Es el conjunto de puntos que incluyen al
círculo de radio a centrado en z 0
y a todo
su interior.
n
n 21
53. Suponga que p(z) 5 z 1a z 11
n 21
az1a
50 . Entonces
1 0
n
n 21
z 1a z 11a z1a
50505
n 21
n
z 1 a z
n 21
n 21
1 0
11az1a
5
1 0
n
n 21
z 1a z 11a z1a
(ya que las
n 21
1 0
n
n 21
a son reales) 5z 1a z 11a z
i
n 21
1
1a
5 p(z ) 5 0
0
Aquí, se ha usado el hecho de que para
k
cualquier entero k. ( zk)
5 ( z ) .
55. Como (cos θ 1 i sen θ) 1 5 cos 1 ? θ 1 i sen
1 ? θ, la fórmula de DeMoivre se cumple
para n 5 1. Suponga que se cumple para
n 5 k; es decir, (cos θ 1 i sen θ) k 5 cos kθ
1 i sen kθ. Entonces (cos θ 1 sen θ) k 1 1 5
(cos θ 1 i sen θ) k (cos θ 1 i sen θ) 5 (cos kθ
1 i sen kθ) 3 (cos θ 1 i sen θ) 5 [cos kθ
cos θ 2 sen kθ sen θ] 1 i[sen kθ cos θ 1
cos kθ sen θ] 5 cos (kθ 1 θ) 1 i sen (kθ 1
θ) 5 cos (k 1 1)θ 1 i sen (k 1 1)θ, que es la
fórmula de DeMoivre para n 5 k 1 1.
Problemas A3, página 647
1. 0.33333333 3 10 0
3. 20.35 3 10 24
5. 0.77777777 3 10 0
7. 0.77272727 3 10 1
9. 20.18833333 3 10 2
11. 0.23705963 3 10 9
13. 0.83742 3 10 220
15. ε a
5 0.1, ε r
5 0.0002
17. ε a
5 0.005, ε r
5 0.04
19. ε a
5 0.00333 . . . , ε r
L 0.57143 3 10 23
21. ε a
5 1, ε r
L 0.1419144 3 10 24
23. Existen tres operaciones diferentes: 1) dividir
el renglón i entre a ii
; 2) multiplicar el
renglón i por a ii
, j . i y restarlo del renglón
j; 3) hacer una sustitución regresiva.
n
nn ( 11)
La operación 1) requiere ∑ k 5
k 51
2
multiplicaciones. La operación 2) requiere
n 21
∑
k 51
n 21
∑
2
kk ( 11)
5 k 1 k
k 51
n 21
∑
k 51
( n
5 21 ) n( 2 n 21
) ( n
1 2 1)
n
6
2
3
( n 2 n)
multiplicaciones y sumas. La
3
operación 3) requiere
n 21
∑ 5
(
2
n21)
n n 2 n
k 5 multiplicaciones
k 51
2 2
y sumas. Si se suman estas fracciones se
obtienen los resultados deseados.
25. Existen tres operaciones: 1) dividir el renglón
i entre a ii
; 2) multiplicar el renglón
i por a ii
, j . i y restarlo del renglón j; 3)
guardar los n elementos en la diagonal y
multiplicarlos al final. La operación 1) requiere
∑ k 5 multiplicaciones.
n 21
nn ( 21)
k 51
2
La operación 2) requiere
n 21
2 nn ( 21)( 2n 21)
∑ k 5
multiplicaciones.
k 51
6
La operación 3) requiere n 2 1 multiplicaciones.
La suma es