lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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390 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales Figura 4.5 u v El vector w = u 2 ⋅ v 2 v es ortogonal a v. y u ⎛ u 2 u ⋅ v ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ v 2 ⎠ ⎟ v 5 w 0 v u ⋅ v v5proy u v 2 v x entonces v 2 u 1 v 2 u 1 ( v 2 u 1 )( u 1 u ) v u ( vu 1 )1 0 1 2 1 de manera que v9 2 es ortogonal a u 1 . Más aún, por el teorema 1, u 1 y v9 2 son linealmente ( v u ) 2 1 independientes. v9 2 ≠ 0 porque de otra manera v 2 ( v u 1 ) u 1 v v 1 , lo que contradice la independencia de v 1 2 1 y v 2 . Paso 3. Elección de un segundo vector unitario Sea u 2 v 2 v 2 (14) entonces es evidente que {u 1 , u 2 } es un conjunto ortonormal. Suponga que se han construido los vectores u 1 , u 2 , . . . u k (k , m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrará cómo construir u k11 . Paso 4. Continuación del proceso Sea v v ( v u ) u v u u p +1 +1 1 1 + entonces para i 5 1, 2, . . . , k (15) v u v u ( v u )( u u ) ( v u )( u u ) k+1 i k+1 i k+1 1 1 i k+1 2 2 i p ( v u )( u u ) p ( v u )( u u i i k k i ) k+1 1 k+1 Pero u j ? u i 5 0 si j ≠ i y u i ? u i 5 1. Por lo tanto, v u v u v u 0 k+1 i k1 i k+1 i Así, {u 1 , u 2 , . . . u k , v9 k11 } es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v9 k11 ≠ 0. Paso 5 Sea u k11 5 v9 k11 /|v9 k11 |. Entonces es claro que {u 1 , u 2 , . . ., u k , u k11 } es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k 11 5 m con lo que se completa la prueba. Nota. Como cada u i es una combinación lineal de vectores v i , gen {u 1 , u 2 , . . ., u k } es un subespacio de gen {v 1 , v 2 , . . . , v n } y como cada espacio tiene dimensión k, los espacios son iguales.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en R n 391 EJEMPLO 4 Construcción de una base ortonormal en R 3 1 0 1 3 Construya una base ortonormal en comenzando con la base {v 1 , v 2 , v 3 } 5 1 , 1 , 0 . 0 1 1 Solución Se tiene |v 1 | 5 Entonces Como Continuando, se tiene v9 3 5 v 3 2 (v 3 ? u 1 )u 1 2 (v 3 ? u 2 )u 2 Por último |v9 3 | 5 Así, una base ortonormal en 3 es Este resultado debe verificarse. EJEMPLO 5 Una base ortonormal para un subespacio de R 3 Solución 3 Encuentre una base ortonormal para el conjunto de vectores en que está sobre el plano x y : 2x y 3z 0 . z Como se vio en el ejemplo 4.6.3, página 333, una base para este subespacio de dos dimensiones es y y
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