lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.3 m ecuaciones con n incógnitas 11
EJEMPLO 2 Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
número infinito de soluciones
Solución
Resuelva el sistema
2x 1
1 4x 2
1 6x 3
5 18
4x 1
1 5x 2
1 6x 3
5 24
2x 1
1 7x 2
1 12x 3
5 30
Para resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1, esto es, primero se escribe el sistema
como una matriz aumentada:
⎛ 2 4 6 | 18⎞
⎜
4 5 6 | 24
⎟
⎜
⎝ 2 7 12 | 30⎠
⎟
Después se obtiene, sucesivamente,
⎛ 1 2 3
1 R1→ R
⎯⎯⎯
2 1
→
⎜
4 5 6
⎝
⎜ 2 7 12
| 9⎞
R2→R2 2 4R
⎛ 1 2 3
1
| 24
⎟ R3→R3 2 2R1
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜
0 23 26
| 30 ⎠
⎟
⎝
⎜ 0 3 6
|
|
|
9⎞
212
⎟
12⎠
⎟
⎛ 1 2 3 | 9⎞
R 1 0 1
⎯⎯⎯⎯
R
1→R12
2R
⎛ 2
2
1
2 → R 3 2
→
⎜
0 1 2 | 4
⎟ R3→R3 2 3R2
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜
0 1 2
⎝
⎜ 0 3 6 | 12 ⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 0
Esto es equivalente al sistema de ecuaciones
x 1
2 x 3
5 1
x 2
1 2x 3
5 4
|
|
|
1⎞
4
⎟
0⎠
⎟
Hasta aquí se puede llegar. Se tienen sólo dos ecuaciones para las tres incógnitas x 1
, x 2
, x 3
y
existe un número infinito de soluciones. Para comprobar esto se elige un valor de x 3
. Entonces
x 2
5 4 2 2x 3
y x 1
5 1 1 x . Ésta será una solución para cualquier número x . Se escribe esta
3 3
solución en la forma (1 1 x 3
, 4 2 2x , x ). Por ejemplo, si x 5 0, se obtiene la solución (1, 4,
3 3 3
0). Para x 3
5 10 se obtiene la solución (11, 216, 10), y por ello para cada valor de x 3
habrá una
solución distinta.
EJEMPLO 3
Solución
Sistema inconsistente
Resuelva el sistema
2x 2
1 3x 3
5 4
2x 1
2 6x 2
1 7x 3
5 15
x 1
2 2x 2
1 5x 3
5 10
La matriz aumentada para este sistema es
(6)
⎛ 0 2 3
⎜
2 26 7
⎝
⎜ 1 22 5
|
|
|
4⎞
15
⎟
10 ⎠
⎟
El elemento 1,1 de la matriz no se puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0 por cualquier
número real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operación elemental con