lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

374 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
en base canónica
Por ejemplo, x 7
4
; entonces
de manera que
7
4
B1
3
2
3 3 1 2
1
1
2
b b
1
1
y
Es decir,
7
4
B2
7
3
4
1
B1
41
1 14 1
3
26
26
10 10
1
20
26
¡verifique!
7
41 2 20 5
4
26
4
26
3
Haciendo uso de la notación de esta sección se puede deducir una manera conveniente
para determinar si un conjunto de vectores dado en cualquier espacio vectorial de dimensión
finita es linealmente dependiente o independiente.
TEOREMA 3
Sea B 1
5 {v 1
, v 2
, . . . , v n
} una base del espacio vectorial V de dimensión n. Suponga
que
a
11
a
21
( x ) ,( x )
1
2
o
a
B 1 B 1
n1
a
12
a
22
o
a n2
p
Sea
a a p a
11 12 1n
a a p a
n
A 21 22 2
o o o
a a p a
n1 n2
nn
Entonces x 1
, x 2
, . . . , x n
son linealmente independientes si y sólo si det A ≠ 0.
DEMOSTRACIÓN
Sean a 1
, a 2
, . . . , a n
las columnas de A. Suponga que
c 1
x 1
1 c 2
x 2
1 . . . 1 c n
x n
5 0 (15)
Después, si se emplea la suma definida en la página 375, se puede escribir (15) como