lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

484 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
se tiene, como en la prueba del teorema 1,
i-ésima posición
⎛ a a p a ⎞
⎛ 0⎞
11 12 1n
⎜
⎟
⎜ ⎟
a a p
⎜
a
21 22 2n
⎟
⎜
0
⎟ ⎛ a ⎞
1i
⎜
⎟
⎜ o ⎟ ⎜ ⎟
o o o
A ( v )
T 1
5 ⎜
⎟
⎜ ⎟ 2
B1 ⎜ a
i1 a
i2
a
in
⎟
⎜ 1⎟
5 ⎜ a
i ⎟
p
⎜
⎜
⎟
⎜ ⎟ o
⎟
0
⎜ o o o ⎟
⎜ ⎟ ⎝
⎜ ami
⎠
⎟
⎝
⎜ a a a
m1 m2
mn⎠
⎟
⎜ o ⎟
p
⎝
⎜
0⎠
⎟
5 ( y i
)
B2
Si x está en V, entonces
y
( )
x B 1
⎛ c ⎞
1
⎜ ⎟
⎜ c2
5 ⎟
⎜
o
⎟
⎝
⎜ c ⎠
⎟
n
A
T
( x)
B1
⎛ a a p a ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ a c a c
11 12 1n
1 11 1 1 12 2 1p
1 a c ⎞
1n
n
⎜
⎟ ⎜ ⎟
a a a c
21 22 2n
2
5 ⎜
p
⎜
⎟ ⎜ ⎟ a c a c
21 1
1
22 2
1p
⎟
5 ⎜
1 a c
2n
n⎟
⎜ o o o ⎟ ⎜
o
⎟ ⎜
o o o
⎟
⎝
⎜ a a p a ⎠
⎟
⎝
⎜ c ⎠
⎟
⎝
⎜ a c 1 a c 1p
1 a c ⎠
⎟
m1
m2
mn
n
m1 1
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
11
12
1n
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a a
21
22
5 c ⎜ ⎟ 1 c ⎜ ⎟ 1p
⎜ a2n
1c
⎟
1
⎜ ⎟
2
⎜ ⎟
n
o o
⎜
o
⎟
⎝
⎜ a a
m1⎠
⎟
⎝
⎜
m2
⎠
⎟
⎝
⎜ a ⎠
⎟
mn
5c
( ) 1c
( y ) 1p
1c ( y )
y
1 1 B2
2 2 B2 n n B2
m2 2
De manera similar, T x 5 T (c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
) 5 c 1
T v 1
1 c 2
T v 2
1 . . . 1 c n
T v n
5
c 1
y 1
1 c 2
y 2
1 . . . 1 c n
vy n
, de manera que T (x) B2
5 (c 1
y 1
1 c 2
y 2
1 . . . 1 c n
vy n
) B2
5 c 1
(y 1
) B2
1 c 2
(y 2
) B2
1 . . . 1 c n
(y n
) B2
5 A T
(x) B1
. Así, T (x) B2
5 A T
(x) B1
. La prueba de la unicidad es
exactamente igual que la prueba de unicidad en el teorema 1.
mn
n
El siguiente resultado es consecuencia del teorema 4.7.7 de la página 350, y generaliza el teorema
2. Su demostración se deja como ejercicio (vea el problema 45 de esta sección).
TEOREMA 4
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V 5 n. Sea T: V → W una
transformación lineal y sea A T
una representación matricial de T respecto a las bases B 1
en V y B 2
en W. Entonces
i. r(T) 5 r(A T
) ii. ν(A) 5 ν(A T
) iii. ν(A) 1 r(T) 5 n
Nota. i) y ii) implican que r(A T
) y ν(A T
) son independientes de las bases B 1
y B 2
.