lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.5 Formas cuadráticas y secciones cónicas 585
Las definiciones de negativa definida y negativa semidefinida son las definiciones en los problemas
31 y 32 sustituyendo $ 0 por # 0. Una forma cuadrática es indefinida si no es de los tipos
anteriores. De los problemas 33 al 43 determine si la forma cuadrática dada es positiva definida,
positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida o indefinida.
33. 3x 2 1 2y 2 34. x 2 2 y 2 35. 23x 2 2 3y 2 36. 3x 2 2 2y 2
37. 3x 2 2 20xy 1 y 2 38. x 2 1 2xy 1 2y 2 39. x 2 2 2xy 1 2y 2 40. x 2 2 4xy 1 3y 2
41. 2x 2 1 4xy 2 3y 2 42. 22x 2 1 xy 2 2y 2 43. 2x 2 1 2xy 2 2y 2
⎛ a
*44. Sea Q 5
⎝
⎜
c
b ⎞
d ⎠
⎟ una matriz ortogonal real con det Q 5 l. Defina el número θ ∈ [0, 2π]:
a) Si a $ 0 y c . 0, entonces θ 5 2cos 21 a ( 0 , θ # π 2).
b) Si a $ 0 y c , 0, entonces θ 5 2π 2 cos 21 a ( 3π 2 # θ , 2 π ).
c) Si a # 0 y c . 0, entonces θ 5 cos 21 a ( π 2# θ,
π).
d) Si a # 0 y c , 0, entonces θ 5 2π 2 cos 21 a ( π , θ # 3π 2).
e) Si a 5 1 y c 5 0, entonces θ 5 0.
f) Si a 5 21 y c 5 0, entonces θ 5 π
(Aquí cos 21 x ∈ [0, π] para x ∈ [21, 1].) Si se elige θ como se describió, demuestre que
⎛ cos θ
Q 5
⎝
⎜
sen θ
2sen
θ⎞
cos θ⎠
⎟
45. Demuestre, utilizando la fórmula (22), que la ecuación (21) es la ecuación de dos rectas en
el plano xy cuando d 5 0 y det A Z 0. Si det A 5 d 5 0, demuestre que la ecuación (21) es
la ecuación de una sola recta.
46. Sea A la representación matricial simétrica de la ecuación cuadrática (1) con d Z 0. Sean λ 1
y λ 2
los valores característicos de A. Demuestre que (1) es la ecuación de a) una hipérbola
si λ 1
λ 2
, 0 y b) un círculo, elipse o sección cónica degenerada si λ 1
y λ 2
. 0.
R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
I. b) II. c) III. d) IV. e)
MATLAB 6.5
Para cada ecuación cuadrática dada en los siguientes problemas:
a) Encuentre una matriz simétrica A tal que la ecuación se pueda escribir como Av ? v 5 d.
b) Encuentre los valores y vectores característicos de A formando [Q,D] 5 eig(A).
c) Si det (Q) 5 21, ajuste Q de manera adecuada para que det(Q) 5 l [consulte la presentación
en los ejemplos 2 y 3 de esta sección o la presentación en el problema 3a) de
MATLAB 6.4]. Utilizando la Q ajustada, encuentre el ángulo de rotación θ (recuerde
que el comando acos de MATLAB encuentra el coseno inverso y el comando atan encuentra
la tangente inversa de un ángulo. Se pueden convertir medidas en radianes a
grados multiplicando por 180/π. La variable pi es parte de las definiciones de MATLAB
y tiene el valor π).