lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

368 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
o
( )
x B
2
2
c
x
1
5
c
2
3
x
5
3
Por ejemplo, si ( x)
B1
4
, entonces
2
( x)
5
B2
3
5
Verificación:
2
v
5
2
La matriz A
5
3
5
13 2 1
v
5 5 3
1 2
3u
4u
13
5
1 2
1 2
x
5
5
1
x 3
5 5
1 2
1 2
1
5
3
1
4
5
2
5
13
5
1
5
x
1
1
x2
5
2 13
1
5 5
2
3
6
3 1 4 0 26 4 0 1
5 5
1
5
se denomina matriz de transición de B
1
1
a B 2
, y se ha demostrado que
5
(x) B2
5 A(x) B1
(4)
⎧⎪
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
⎫⎪
⎧⎪
⎛1⎞
⎛ −1⎞
⎫⎪
En la figura 4.4 se ilustran las dos bases ⎨
⎝
⎜
0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
1⎠
⎟ ⎬ y ⎨
⎩⎪ ⎭⎪ ⎝
⎜
3⎠
⎟ ,
⎝
⎜
2⎠
⎟ ⎬
⎩⎪ ⎭⎪ .
Es sencillo generalizar este ejemplo, sin embargo antes es necesario ampliar la notación.
Sea B 1
5 {u 1
, u 2
, . . . , u n
} y B 2
5 {v 1
, v 2
, . . . , v n
} dos bases para un espacio vectorial real V de
dimensión n. Sea x P V. Entonces x se puede escribir en términos de ambas bases:
x 5 b 1
u 1
1 b 2
u 2
1 b n
u n
(5)
Figura 4.4
⎛
a) Expresión de 3 ⎞
⎝
⎜
−4⎠
⎟ en
términos de la base
1
0
canónica
0
,
1
.
⎛ 3⎞
b) Expresión de
⎝
⎜
−4⎠
⎟ en
términos de la base
⎧⎪
⎛1⎞
⎛ −1⎞
⎫⎪
⎨
⎝
⎜
3⎠
⎟ ,
⎝
⎜
2⎠
⎟ ⎬.
⎩⎪ ⎭⎪
y
⎛21⎞
⎛ 1⎞
v 2 5 v 1 5
⎝
⎜
2⎠
⎟
2
⎝
⎜
3⎠
⎟
y
2
2 ⎛ ⎞
v
5
1
1 5
5
⎝
⎜ 6
⎠
⎟
5
0
⎛
u 2
5 0 22 21 1 2
⎞
1 ⎛ 0 ⎞
⎝
⎜
1⎠
⎟ u 1
⎝
⎜
1⎠
⎟ 3u 1
x
0 1
24u 2
5
⎛ 3 ⎞
⎝
⎜
24 ⎠
⎟ 5 3u 2 4u 1 2
a) b)
x
3
⎛ 3 ⎞
2 13
5 v 1 2 v
5 5 2
⎝
⎜
24 ⎠
⎟
13
⎛ ⎞
13
2 v
5
2 5
5
26
⎝
⎜
2 ⎠
⎟
5