lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

644 APÉNDICE 3 El error numérico en los cálculos y la complejidad computacional
Paso 2. Se multiplica el renglón 1 por a i1
y se suma al renglón i para i 5 2, 3, . . . , n:
Contemos las operaciones.
Para obtener el nuevo renglón 2:
⎛ 1 L L L L | L ⎞
⎜
0 C C C C | C
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 C C C C | C ⎟
⎜
0 C C | ⎟
⎜
⎟
⎝
⎜
C C | C ⎠
⎟
El cero en la posición 2,1 no requiere trabajo. Se sabe que el número en la posición 2,1 será
cero, por lo que simplemente se coloca en ese lugar. Existen (n 1 1) 2 1 5 n números en el segundo
renglón que deben cambiar. Por ejemplo, si a 22
se denota por a9 22
, entonces
a9 22
5 a 22
2 a 21
a 12
Esto requiere una multiplicación y una suma. Como hay n números que cambiar en el segundo
renglón, se necesitan n multiplicaciones y n sumas en el segundo renglón. Lo mismo ocurre en
cada uno de los n 2 1 renglones de 2 a n. Entonces
Total para el paso 2
(n 2 1)n multiplicaciones
(n 2 1)n sumas
Notación. En adelante a9 ij
denotará el último cálculo en el renglón i y la columna j.
Paso 3. Se multiplica todo en el segundo renglón por 1/a9 22
:
⎛ 1 L L L L | L⎞
⎜
0 1 C C C | C
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 L L L L | L⎟
⎜
⎟
|
⎝
⎜ 0 L L L L | L⎠
⎟
Total para el paso 3
n 2 1 multiplicaciones. (Como antes, el
1 en la posición 2, 2 sólo se coloca ahí.)
no hay sumas
Paso 4. Se multiplica el renglón 2 por –a9 i2
y se suma al renglón i, para i 5 1, 3, 4, . . . , n:
⎛ 1 0 C C C | C⎞
⎜
0 1 L L L | L
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 C C C | C⎟
⎜
⎟
|
⎝
⎜ 0 0 C C C | C⎠
⎟
Total para el paso 4
(n 2 1)(n 2 1) multiplicaciones
(n 2 1)(n 2 1) sumas
Del mismo modo que en el paso 2, cada cambio requiere una multiplicación y una suma. Pero
ahora las primeras dos componentes no requieren cálculos; es decir, se calculan (n 1 1) 22 5
n 21 números en cada renglón. Aquí también, los cálculos se hacen en n 21 renglones. Esto
explica los números anteriores.