lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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322 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales Solución Suponga que c 1 A 1 1 c 2 A 2 1 c 3 A 3 5 0. Entonces 0 0 0 1 0 2 1 1 4 1 2 0 0 0 3 1 1 c c 0 1 0 1 c3 1 c c c c 2c 4c c 1 2 3 2 1 2 3 3c 2c c c 3c 2c c c 1 2 3 1 2 3 1 3 Esto nos proporciona un sistema homogéneo de seis ecuaciones con tres incógnitas, c 1 , c 2 y c 3 en el cual resulta bastante sencillo verificar que la única solución es c 1 5 c 2 5 c 3 5 0. De este modo, las tres matrices son linealmente independientes. EJEMPLO 9 Cuatro polinomios linealmente independientes en P 3 Solución En P 3 determine si los polinomios 1, x, x 2 y x 3 son linealmente dependientes o independientes. Suponga que c 1 1 c 2 x 1 c 3 x 2 1 c 4 x 3 5 0. Esto debe cumplirse para todo número real x. En particular, si x 5 0, se obtiene c 1 5 0. Entonces, haciendo x 5 1, 21, 2 se obtiene, sucesivamente, El determinante de este sistema homogéneo es c c c 0 2 3 4 c c c 0 2 3 4 2c 4c 8c 0 2 3 4 De manera que el sistema tiene una solución única c 1 5 c 2 5 c 3 5 c 4 5 0 y los cuatro polinomios son linealmente independientes. Esto se puede ver de otra forma. Se sabe que cualquier polinomio de grado 3 tiene a lo más tres raíces reales. Pero si c 1 1 c 2 x 1 c 3 x 2 1 c 4 x 3 5 0 para algunas constantes diferentes de cero c 1 , c 2 , c 3 , y c 4 y para todo número real x, entonces se ha construido un polinomio cúbico para el que todo número real es una raíz, lo cual es imposible. EJEMPLO 10 Tres polinomios linealmente independientes en P 2 Solución En P 2 , determine si los polinomios x 2 2x 2 , x 2 24x y 27x 1 8x 2 son linealmente dependientes o independientes. Sea c 1 (x 2 2x 2 ) 1 c 2 (x 2 24x) 1 c 3 (27x 1 8x 2 ) 5 0. Reacomodando los términos se obtiene ( c 4c 7c ) x 0 1 2 3 2 ( 2c c 8c ) x 0 1 2 3 Estas ecuaciones se cumplen para todo x si y sólo si y c 4c 7c 0 1 2 3 22c 1 1 c 2 1 8c 3 5 0 Pero para el teorema 1.4.1 de la página 38, este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas tiene un número infinito de soluciones. Lo que muestra que los polinomios son linealmente dependientes.
4.5 Independencia lineal 323 Si se resuelve este sistema homogéneo, se obtiene, sucesivamente 1 4 7 0 2 1 8 0 1 4 7 0 0 7 6 0 1 4 7 0 6 0 1 0 7 1 0 0 1 25 7 6 7 25 6 Así, se puede dar un valor arbitrario a c , c c y c c . Si, por ejemplo, c 3 1 3 2 3 7 7 3 5 7, entonces c 1 5 25, c 2 5 26 y se tiene 25(x 2 2x 2 ) 2 6(x 2 2 4x) 1 7(27x 1 8x 2 ) 5 0 0 0 Problemas 4.5 A UTOEVALUACIÓN I I. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes? a) ⎛1⎞ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎜ −1⎠ ⎟ b) ⎛ 2⎞ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎛ 3⎞ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ c) ⎛11⎞ ⎛ 0⎞ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ , ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ d) ⎛ −3⎞ ⎛ −6⎞ ⎝ ⎜ −11⎠ ⎟ , ⎝ ⎜ 11⎠ ⎟ e) ⎛ −2⎞ ⎛ 2⎞ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ , 4 ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ II. ¿Cuál de los siguientes pares de vectores es un conjunto generador de 2 ? a) ⎛1⎞ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎜ −1⎠ ⎟ b) ⎛ 2⎞ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎛ 3⎞ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ c) ⎛11⎞ ⎛ 0⎞ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ , ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ d) ⎛ −3⎞ ⎛ −6⎞ ⎝ ⎜ −11⎠ ⎟ , ⎝ ⎜ 11⎠ ⎟ e) ⎛ −2⎞ ⎛ 2⎞ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ , 4 ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ IIII. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores debe ser linealmente dependiente? a) d) a d b e , b) c f a d g j b , e c f , h , k i l a c e b , d , f Aquí a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, y l son números reales. Indique si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas c) a d g b , e , h c f i IV. Si v 1 , v 2 , . . . , v n son linealmente independientes, entonces v 1 , v 2 , . . . , v n , v n11 también son linealmente independientes. V. Si v 1 , v 2 , . . . , v n son linealmente dependientes, entonces v 1 , v 2 , . . . , v n , v n11 también son linealmente dependientes. VI. Si A es una matriz de 3 3 3 y det A 5 0, entonces los renglones de A son vectores linealmente dependientes en 3 .
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Apéndice 5 USO DE MATLAB MATLAB es
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Respuestas A LOS PROBLEMAS IMPARES
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