lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

258 CAPÍTULO 3 Vectores en R 2 y R 3
Figura 3.31
El área de la región sombreada
es el área generada
por u y v
⎛ v ⎞
1
v 5 ⎜
⎝ v
⎟
⎠
2
0
z
Área
⎛ u ⎞
1
u 5 ⎜
⎝ v
⎟
⎠
2
x
Figura 3.32
Tres vectores u, v y w, que
no están en el mismo plano
determinará un paralelepípedo
en R 3
u
w
u 3 v
θ
h
v
i j k
Área generada por u9 y v9 5 u9 × v9 = )
a u + a u a u + a u
11 1 12 2 21 1 22 2
0
a v + a v a v + a v
11 1 12 2 21 1 22 2
0
= a u + a u )( a v + a v ) − ( a u + a u )( a v + a v 2
(
11 1 12 2 21 1 22 2 21 1 22 2 11 1 12
La manipulación algebraica verifica que la última expresión es igual a
|(a 11
a 22
2 a 12
a 21
)(u 1
v 2
2 u 2
v 1
)| 5 6det A (área generada por u y v)
Entonces (en este contexto): el determinante tiene el efecto de multiplicar el área. En el problema
45 se pide al lector que demuestre que de cierta forma un determinante de 3 3 3 tiene el efecto
de multiplicar el volumen.
)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean u, v y w tres vectores que no están en el mismo plano. Entonces forman los lados de un
paralelepípedo en el espacio (vea la figura 3.32). Calculemos su volumen. La base del paralelepípedo
es un paralelogramo. Su área, de (3), es igual a | u 3 v |.
El vector u 3 v es ortogonal tanto a u como a v y, por lo tanto, es ortogonal al paralelogramo
determinado por u y v. La altura del paralelepípedo, h, se mide a lo largo del vector
ortogonal al paralelogramo.
Del análisis de la proyección en la página 238, se ve que h es el valor absoluto de la componente
de w en la dirección (ortogonal) u 3 v. Así, de la ecuación (10) en la página 251
h 5 componente de w en la dirección u × v =
w ⋅ ( u × v)
u × v
Entonces
Volumen del paralelepípedo 5 área de base 3 altura
Es decir,
= u × v
⎡ w ⋅ ( u × v)
⎤
⎢
⎥ w u v
⎣⎢
u × v
⎦⎥ = ⋅ ( × )
El volumen del paralelepípedo determinado por los tres
vectores u, v y w es igual a |(u 3 v) . w| 5 valor absoluto
del triple producto escalar de u, v y w.
(4)