lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

462 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
EJEMPLO 7
Transformación de R n S R m dada por la multiplicación por una matriz de m 3 n
n m
Sea A una matriz de m 3 n y defina T: S por Tx 5 Ax. Como A(x 1 y) 5 Ax 1 Ay y
A(ax) 5 aAx si x y y están en n
, se observa que T es una transformación lineal. Entonces: toda
n
matriz A de m 3 n se puede utilizar para definir una transformación lineal de en m
. En la sección
5.3 se verá que se cumple el converso: toda transformación lineal entre espacios vectoriales
de dimensión finita se puede representar por una matriz.
EJEMPLO 8
Transformación de rotación
⎛
Suponga que el vector v5
x ⎞
⎝
⎜
y⎠
⎟ en el plano xy se rota un ángulo u (medido en grados o radianes)
⎛ ′ ⎞
en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector rotado v′
5 x ⎝
⎜
y ′ ⎠
⎟ .
Entonces, como se ve en la figura 5.3, si r denota la longitud de v (que no cambia por la rotación),
x5rcos
α
y5rsen
α
x′ 5rcos ( θ1 α) y′
5rsen
( θ1
α)†
x9y9
y
Figura 5.3
(x’, y’) se obtiene rotando
(x, y) un ángulo θ.
p2 a 2 u
x9
r
u1 a
u
a
r
x
xy
x
Pero r cos (θ 1 α) 5 r cos θ cos α 2 r sen θ sen α, de manera que
x9 5 x cos θ 2 y sen θ (3)
De manera similar, r sen (θ 1 α) 5 r sen θ cos α 1 r cos θ sen α, o sea
y9 5 x sen θ 1 y cos θ (4)
Sea
⎛ cos θ 2sen
θ⎞
A θ
5
⎝
⎜
sen θ cos θ⎠
⎟ (5)
†
Esto se deduce de la definición estándar de cos u y sen u como las coordenadas x y y de un punto en el círculo unitario.
Si (x, y) es un punto en el círculo de radio r con centro en el origen, entonces x 5 r cos ϕ y y 5 r sen ϕ, donde ϕ es el
ángulo que forma el vector (x, y) con el lado positivo del eje x.