lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

732 CAPÍTULO 5
Problemas 5.5, página 516
1. Tx ? Ty
⎛ x sen θ1
x cos θ⎞
⎛ y
1 2
⎜
⎟ ⎜
5⎜
x cos θ2
x sen θ
1 2 ⎟ ? ⎜ y
⎝
⎜ x3
⎠
⎟ ⎝
⎜
2
5xy
1 1
( sen θ1cos 2 θ)
2
1 xy( sen
θ1cos 2 θ)
2 2
1 xy 3 3
5xy1xy 1xy
1 1 2 2 3 3
5 x?
y
sen θ1
y cos θ⎞
⎟
cos θ2
y sen θ⎟
y ⎠
⎟
1 2
1 2
(todos los demás términos en el pro ducto
escalar se eliminan).
3. Usando el teorema 1, Tx ? Ty 5
(ABx) ? (ABy) 5 x ? (AB) t (ABy) 5
x ? (B t A t )(AB)y 5 x ? (B 21 A 21 AB)y 5
x ? y
5. La misma demostración que para el teorema
2 excepto que se sustituye (x, y) en lugar
de x ? y y (Tx, Ty) en lugar de Tx ? Ty.
7. Tx ? αx donde α es un escalar y α Z 0 o 1.
9. Tx ? Ty 5 x ? y 5 Ax ? Ay y A t 5 A 21 de
manera que A 5 (A 21 ) t . Entonces x ? y 5
x ? (Iy) 5 x ? (A 21 ) t A 21 y 5 A 21 x ? A 21 y 5
Sx ? Sy de manera que Sx 5 A 21 y es una
isometría.
2 3
11. T( a 1a x1a x 1a x ) 5
0 1 2 3
( a / 22
5/ 2 2) a ,
0 2
( 32 / ) a 2(
3 7/ 2 2) a ,
1
3
( 3 5/ 2 2) a ,( 5 7/ 2 2) a )
2 3
⎛
13. T a b ⎞
a
c
⎝
⎜
c d ⎠
⎟ 5 ( / 2 2 ( 5/ 2 2) ,
( 32 / ) b2( 3 7/ 2 2) d,
( 3 52 / 2) c,( 5 72 / 2) d)
⎛ 12
i 3 ⎞
15. A*5
⎝
⎜
2422i
613i⎠
⎟
17. Si A es hermitiana, entonces A* 5 A. En
particular, las componentes dia gonales de
A no se mueven cuando se toma la transpuesta,
por lo que – a ii
5 a ii
, que quiere decir
que a ii
es real.
3
19. Sea A* 5 B 5 (b ij ) y sea c i
la columna i de
A. Entonces AB 5 1 5 (δ ij
) donde
⎧1,
si i5
j
δ 5
ij ⎨
⎩0,
si i ≠ j
Pero δ
i j ij
n
∑
c ? c 5δ .
5 a b 5
ij ik kj
k21
n
∑
k21
a a
ik kj
21. Como la i-ésima componente de Ax es
n
∑
ij
j51
n n
ax,
se tiene ( Ax, y)
5
j
5
∑ ∑ axy.
Similarmente, si A*
5
ij j i
i51
j51
B5( b ),( x,
A* y)
5
n
n
∑ ∑
ij
x
by5 xby5
j ij i j ij i
i51
j51
j51
i51
n n
n n
∑ ∑
( Ax, y).
xa y5
n
n
∑ ∑
∑ ∑
ax y5
j ij i
ij j i
j51
i51
i51
j51
MATLAB 5.5
1. a) La rotación y la reflexión preser van la
longitud.
c) Escriba una representación gene ral
para cada matriz y demuestre que la
matriz multiplicada por su transpuesta
es igual a la matriz identidad. Para la
reflexión use F 5 2P 2 I, donde primero
se demuestra que P 5 ⎜
2 ⎟.
2
⎛ ν ν ν ⎞
1 1 2
⎝ ν ν ν
1 2 2 ⎠
2 2
Utilice el hecho de que ν 1 ν 51.
1 2
d) Algunos puntos clave en el pro grama
son
th 5 atan(v(2)/v(1))
R 5 [cos(th) 2sen(th);
sen (th) cos (th)];
F 5 2*[v(1)*v
v(2)*v]2eye(2)
X 5 [1 0;0 21]
e) Para la reflexión, sea F 5 2P 2I, donde
P es la misma que en el inciso c) anterior,
con ν 1
5 cos(α) y ν 2
5 sen(α) y
simplifique.