lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

2.2 Propiedades de los determinantes 183
El primer resultado que se necesita es quizá el teorema más importante sobre determinantes.
Este teorema establece que el determinante de un producto es igual al producto de los
determinantes.
TEOREMA 1
Sean A y B dos matrices de n 3 n. Entonces
det AB 5 det A det B (8)
Es decir: el determinante del producto es el producto de los determinantes.
Observación. Note que el producto de la izquierda es un producto de matrices mientras
que el de la derecha es de escalares.
DEMOSTRACIÓN
Si se utilizan matrices elementales, la prueba está dada en la sección 2.3. En el problema
48 se pide que verifique este resultado para el caso 2 3 2.
EJEMPLO 1
Ilustración del hecho de que det AB 5 det A det B
Verifique el teorema 1 para
Solución
Det A 5 16 y det B 5 28. Se puede calcular
y det AB 5 2 128 5 (16)(28) 5 det A det B.
ADVERTENCIA
El determinante de la suma no siempre es igual a la suma de los determinantes. Es decir, para
la mayoría de los pares de matrices, A y B,
det (A 1 B) ? det A 1 det B
Por ejemplo, sean
⎛1 2⎞
⎝
⎜
3 4⎠
⎟
y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . Entonces
⎛ 4 2⎞
1B
5
⎝
⎜
1 6⎠
⎟ :
det A 5 2 2 det B 5 6 y
det (A 1 B) 5 22 ? det A 1 det B 5 22 1 6 5 4
Ahora sea A 5 LU una factorización LU de una matriz de n 3 n (vea la página 138). Entonces,
por el teorema 1,
det A 5 det LU 5 det L det U
Pero L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal, así
det L 5 producto de los elementos en la diagonal 5 1