lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

516 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
Problemas 5.5
A UTOEVALUACIÓN
Indique si los enunciados siguientes son falsos o verdaderos
I. La transformación lineal T:
n
S
n
es una isometría si ||Tx|| 5 ||x|| para todo x en .
II. La transformación lineal T :
n
S
n
es una isometría si las columnas de su representación
matricial son ortogonales por pares.
III. La transformación lineal T :
n
S
n
es una isometría si las columnas de su representación
matricial son ortogonales por pares y cada columna tiene norma 1.
⎛ 3⎞
2 2
⎛ 2⎞
IV. Si T : S es una isometría, entonces T
⎝
⎜ 2 2⎠
⎟ es ortogonal a T .
⎝
⎜
3⎠
⎟
V. Si T :
n
S
n
es un isomorfismo, entonces T es una isometría.
VI. Si T :
n
S
n
es una isometría, entonces T es un isomorfismo.
1. Demuestre que para cualquier número real θ, la transformación T :
n
S
n
definida por
Tx 5 Ax, donde
es una isometría.
⎛ sen θ cos θ 0⎞
A 5
⎜
cos θ 2sen
θ 0
⎟
⎝
⎜ 0 0 1⎠
⎟
2. Haga lo mismo para la transformación T, donde
⎛ cos θ 0 2sen
θ⎞
A 5
⎜
0 1 0
⎟
⎝
⎜ sen θ 0 cos θ ⎠
⎟
3. Sean A y B matrices ortogonales de n 3 n. Demuestre que T:
n
S
n
definida por Tx 5
ABx, es una isometría.
4. Encuentre A T
si T es la transformación de
3
S
3
definida por
⎛ 23 / ⎞ ⎛1/
2⎞
T
⎜
13 /
⎟ ⎜ ⎟
5 ⎜1/
2⎟
⎝
⎜223
/ ⎠
⎟ ⎜
⎝
0 ⎟
⎠
Demuestre que A T
es ortogonal.
5. Demuestre el teorema 6.
⎛ 13 / ⎞ ⎛ 21/
6 ⎞
T
⎜
23 /
⎟ ⎜
⎟
5 ⎜ 1/
6 ⎟
⎝
⎜ 23 / ⎠
⎟ ⎜
⎝ 2/
6
⎟
⎠
⎛ 23 / ⎞ ⎛ 1/
3⎞
T
⎜
223
/
⎟ ⎜
⎟
5 ⎜21/
3⎟
⎝
⎜ 13 / ⎠
⎟ ⎜
⎝ 1/
3
⎟
⎠
6. Sea T :
2
S
2
una isometría. Demuestre que T preserva los ángulos. Es decir, (ángulo entre
x y y) 5 (ángulo entre Tx y Ty).
7. Dé un ejemplo de una transformación lineal de
2
sobre
2
que preserve los ángulos y no
sea una isometría.
8. Para x, y P
n
con x y y ≠ 0, defina: (ángulo entre x y y) 5 < (x, y) 5 cos 21 [(x ? y)/|x||y|].
Demuestre que si T :
n
S
n
es una isometría, entonces T preserva los ángulos.
9. Sea T :
n
S
n
una isometría y sea Tx 5 Ax. Demuestre que Sx 5 A 21 x es una isometría.