lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 727
17. Nu(T) es un subespacio de 3 que contiene
al origen. Por lo tanto del ejemplo
4.6.9, ImT o es a) {0}, o b) una recta que
pasa por el origen, o c) un plano que pasa
por el origen, o d) 3
.
⎛
⎜
c
19. Tx 5 Ax donde A5⎜
d
⎝
⎜
⎛ 1 0 0⎞
21. T 5
⎜
0 1 0
⎟
⎝
⎜22 1 0⎠
⎟
12
c ⎞
a ⎟
⎟ , c, d ∈ .
b2
d
a ⎠
⎟
23. Nu T 5{ f ∈ C 1 [ 01 , ]:
xf ′( x) 50, ∀x
∈[ 01 , ]}
5 f( x)
constante ∈[ 01 , ]
Im T 5 { xf( x) : f( x) ∈C[ 01 , ]}.
25. a) Suponga que T , T ∈ U. Entonces para
cada h ∈H, ( T 1T ) h5Th1T
h5
1 2
1 2 1 2
01050, y ( αT
) h5α( Th)
5α
⋅ 050.
1 1
Por lo que U es un subespacio de L(V,
V).
b) dim U 5n( n2 k)
. De hecho extendiendo
una base de H,{u 1
, . . . , u k
}, a una
base de V, {u 1
, . . . , u n
}, por lo tanto
T ∈ U ⇔ T(u 1
) 5 . . . 5 T(u k
) 5 0. En
particular T( u ) , , T( u ) son n 2 k
k 11 n
vectores arbitrarios en el espacio V de
dimensión n. Por lo que si T ij
( u i
) 5 u j
;
T ij
( u l
) 5 0 , l Z i, k , i# n, 1# j# n,
entonces T ij
son una base de U.
Problemas 5.3, página 495
1.
⎛ 1 22⎞
⎝
⎜
21
1⎠
⎟ ; Nu(T ) 5 {0}; imagen T 5 2
ν(T) 5 0, ρ(T) 5 2
⎛ 2⎞
3. A T
5
⎜
21
⎟
, Nu( T) 5{
x ∈ | x 50 },
⎝
⎜ 1⎠
⎟
⎧⎛
2⎞
⎫
⎪
ν( T ) 50, ImT 5gen
⎜
21
⎟ ⎪
⎨
⎬, ρ( T ) 51
⎪
⎝
⎜ 1⎠
⎟ ⎪
⎩ ⎭
a b
5. A 5 ⎛ ⎞
T
⎝ ⎜ c d⎠
⎟ . Si a 5 b 5 c 5 d 50, T es la
transformación cero de modo que Nu( T )
5 2
, ν(T) 5 2, Im T 5{ 0 }, ρ(T) 5 0. Si
ad 2cb50 y suponga que al menos uno
de los coeficientes a, b, c, d es diferente de
cero. Sin pérdida de generalidad, sea a ≠ 0.
Entonces ρ( T ) 51, ν(T) 5 1,
⎧⎪
⎛2b
⎞ ⎫⎪
Nu( T ) 5 gen ⎨
⎝
⎜
a⎠
⎟ ⎬ Im gen
⎩⎪ ⎭⎪ T
⎧⎪
⎛ a⎞
⎫⎪
5 ⎨
⎝
⎜
c ⎠
⎟ ⎬
⎩⎪ ⎭⎪ .
7.
⎛1
⎜
3
⎝
⎜5
21
1
21
2⎞
⎧⎛1⎞
⎛21⎞
⎫
4
⎟
⎪
; imagen T 5 gen
⎜
3
⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎨
, 1
⎬;
8⎠
⎟
⎪
⎝
⎜5
⎠
⎟
⎝
⎜
⎠
⎟ ⎪
⎩
21
⎭
⎧⎛23⎞
⎫
⎪
Nu( T ) 5 gen
⎜
1
⎟ ⎪
⎨
⎬; ρ( T ) 5 2,
⎪
⎝
⎜ 2⎠
⎟ ⎪
⎩ ⎭
ν( T ) 51
⎛ 1 21
2 3⎞
9.
⎜
0 1 4 3
⎟
; imagen T 5
⎝
⎜ 1 0 6 6⎠
⎟
⎧⎛
1⎞
⎛21⎞
⎫
⎪
gen
⎜
0
⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎨
, 1
⎬; Nu( T ) 5
⎪
⎝
⎜ 1⎠
⎟
⎝
⎜
⎠
⎟ ⎪
⎩
0
⎭
⎧⎛26⎞
⎛26⎞
⎫
⎜
24
⎟ ⎜
2
⎟
⎪
gen
⎜ ⎟ ⎜
3
⎟
⎪
⎨ ,
⎬;
⎪⎜
1⎟
⎜ 0⎟
⎪
⎪⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎩⎝
0⎠
⎝ 1⎠
⎪
⎭
ρ( T) 52, ν( T) 52.
a b
11. A 5 ⎛ 0 0 ⎞
T
⎝
⎜
0 0 c d⎠
⎟ ,
⎧⎛
b ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫
⎪⎜2
a ⎟ ⎜
0
⎟ ⎪
⎪⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎪
Nu( T ) 5 gen ⎨⎜
1 ⎟ , ⎜ d ⎟ ⎬,
⎪⎜
2
0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎪⎜
⎟ ⎜
c
⎟ ⎪
⎩⎪
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭⎪
ν(T) 5 2, ImT 5 2 , ρ(T) 5 2.