lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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530 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas y ⎛22 21 4 ⎜ 3 21 21 ⎝ ⎜ 2 21 24 | | | 0⎞ ⎛22 21 4 0 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 5 0 25 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 0 | | | 0⎞ 0 ⎟ 0⎠ ⎟ ⎛22 21 4 | 0⎞ ⎛ ⎯⎯⎯→ ⎜ 1 0 21 | 0 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ ⎝ ⎜ 0 0 0 | 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎛ 1⎞ Por lo tanto, x 3 5 x 1 , x 2 5 2x 1 y v 5 ⎜ 2 ⎟ 3 de manera que E 5 gen ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ 3 ⎧⎛ 1⎞ ⎫ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎨ ⎬. ⎪ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎪ ⎩ ⎭ Observación. En éste y otros ejemplos existe un número infinito de formas de elegir el vector característico. Se seleccionó arbitrariamente un ejemplo sencillo haciendo una o más de las x i igual a un número conveniente. En este caso, una de las x i se hizo igual 1. Otra selección común es escalar el vector característico para que sea unitario. EJEMPLO 5 Una matriz de 2 3 2 con uno de sus valores característicos iguales a cero ⎛ 2 21⎞ Sea A5 ⎝ ⎜ 24 2⎠ ⎟ . Entonces A2 I 5 2 2 λ 2 1 2 2 5 2 det ( λ ) λ 4 2 4λ 2 λ 5 λ(λ 2 4). Así, los valores característicos son λ 1 5 0 y λ 2 5 4. El espacio característico correspondiente a cero es sim- ⎛ 2 21⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ 1 plemente el espacio nulo de A. Se calcula 5 ⎝ ⎜ 24 2⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ , de manera que 2x 1 5 x 2 y un ⎛ ⎞ vector característico es v 1 5 ⎝ ⎜ 1⎟ . Por lo tanto, E 2⎠ 0 2 ⎧⎪ ⎛ 1⎞ ⎫⎪ 5 gen ⎨ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ⎬. Al analizar lo que corresponde ⎩⎪ ⎭⎪ ⎛ a λ 2 5 4 se tiene 22 21 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ 1 1 5 ⎝ ⎜ 24 22⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x 0 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ , de manera que 5 ⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎫ E gen 4 ⎝ ⎜ ⎪ ⎨ 22 ⎠ ⎟ ⎬ ⎩⎪ ⎭⎪ . EJEMPLO 6 Una matriz de 2 3 2 con valores característicos conjugados complejos Sea A 5 ⎛ 3 25⎞ ⎝ ⎜ 1 21⎠ ⎟ . Entonces ( ) 3 5 2 5 2 λ det A λI 2 1 2 2 5 2 λ 1 2 2λ 1 25 0 y λ 5 22 ( 2 ) 6 424 ( 1 )( 2 ) 2 5 6 2 4 2 5 6 2i λ 5 1 6 i 2 2 2 Así, λ 1 5 1 1 i y λ 2 5 1 2 i. Se calcula ⎛ 2 2 1 5 2 i 1 2 5 ⎞ ⎡⎣ A ( i) I⎤ ⎦ v ⎝ ⎜ 1 212i⎠ ⎟ † ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎝ x ⎟ 5 0 ⎠ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ 2 ⎛ † Observe que las columnas de esta matriz son linealmente dependientes porque 25 ⎞ ⎝ ⎜ 22 2i⎠ ⎟ 52 22i ( 22i) ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 1 ⎠ ⎟ .
6.1 Valores característicos y vectores característicos 531 y se obtiene (22i)x 1 2 5x 2 5 0 y x 1 1 (22 2 i)x 2 5 0. Entonces x 1 5 (2 1 i)x 2 , lo que lleva al ⎛ 2 ⎞ ⎛ vector característico 5 1 i ⎧⎪ 2 1i⎞ ⎫ v 1 ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ y E 5 1 1 1 gen i ⎝ ⎜ ⎪ ⎨ 1 ⎠ ⎟ ⎬ ⎩⎪ ⎭⎪ . De manera similar, ⎡ ⎣ A2( 12i) I ⎤ ⎦ v 5 ⎛ 21i 25 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎛ 2 i⎞ ⎝ ⎜ 1 221i ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎝ x ⎠ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ o x 1 1 (22 1 i)x 2 5 0, lo que lleva a x 1 5 (2 2 i)x 2 , v 5 2 2 ⎝ ⎜ 1 ⎠ ⎟ y E 12 i ⎧⎪ ⎛ 2 2i⎞ ⎫⎪ 5 gen ⎨ ⎝ ⎜ 1 ⎠ ⎟ ⎬ ⎩⎪ ⎭⎪ . 2 Observación 1. Este ejemplo ilustra que una matriz real puede tener valores y vectores característicos complejos. Algunos libros definen los valores característicos de matrices reales como las raíces reales de la ecuación característica. Con esta definición la matriz del último ejemplo no tiene valores característicos. Esto puede hacer que los cálculos sean más sencillos, pero también reduce en gran medida la utilidad de la teoría de valores característicos y de vectores característicos. En la sección 6.7 se verá una ilustración importante del uso de los valores característicos complejos. Observación 2. Note que λ 2 5 1 2 i es el conjugado complejo de λ 1 5 1 1 i. Adicionalmente, las componentes de v 2 son conjugados complejos de las componentes de v 1 lo cual no es una coincidencia. En el problema 38 de esta sección se pide que se pruebe que Los valores característicos de una matriz real ocurren en pares conjugados complejos y los vectores característicos correspondientes son conjugados complejos entre sí. Antes de presentar más ejemplos, se demostrará un teorema que en algunos casos especiales simplifica los cálculos de los valores característicos. TEOREMA 4 Los valores característicos de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz. DEMOSTRACIÓN Si ⎛ a a L a ⎞ ⎛ a 11 12 1n ⎜ a a L a ⎟ ⎜ 21 22 2n A5 ⎜ ⎟ , entonces A2 λI 5⎜ ⎜ M M O M ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 L a nn ⎠ ⎝ 11 2 λ a L a ⎞ 12 1n 0 a 2 λ L a ⎟ 22 2n ⎟ M M O M ⎟ 0 0 L ⎟ a 2 λ⎠ nn y como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de las componentes de la diagonal (vea la página 173), se ve que det (A 2 λI) 5 (a 11 2λ)(a 22 2 λ) … (a nn 2 λ) con ceros a 11 , a 22 , … , a nn . La demostración para una matriz triangular inferior es prácticamente idéntica. EJEMPLO 7 Valores característicos de una matriz triangular ⎛ 2 5 6⎞ Sea A5 ⎜ 0 23 2 ⎟ . Entonces det ( A2 λI) 5 ⎝ ⎜ 0 0 5⎠ ⎟ con ceros (y valores característicos) 2, 23 y 5. 22 λ 5 6 0 232 λ 2 0 0 52 λ 5( 22 λ) ( 232 λ) ( 52 λ)
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Respuestas A LOS PROBLEMAS IMPARES
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