lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.9 Transpuesta de una matriz 121
En los problemas 1 a 13 encuentre la transpuesta de la matriz dada.
1. ⎛ 21 4⎞
⎝ ⎜ 6 5⎠
⎟
2.
⎛ 3 0⎞
⎝
⎜
1 2⎠ ⎟ 3. ⎛ 3 5⎞
⎝
⎜
2 21⎠
⎟
4.
⎛ 2 3⎞
⎜
21 2
⎟
⎝
⎜ 1 4⎠
⎟
5. ⎛ 2 21 0⎞
⎝ ⎜ 1 5 6⎠
⎟
6.
⎛ 1 22 3 21⎞
⎝
⎜
4 22 1 25⎠
⎟
7.
⎛ 1 2 3⎞
⎜
21 0 4
⎟
⎝
⎜ 1 5 5⎠
⎟
8.
⎛ 1 2 3⎞
⎜
2 4 25
⎟
⎝
⎜ 3 25 7⎠
⎟
9.
⎛ 1 22
23⎞
⎜
22 2 7
⎟
⎝
⎜23 5 4⎠
⎟
10.
⎛ 1 0 1 0⎞
⎝
⎜
0 1 0 1⎠
⎟
11.
⎛ 2 21⎞
⎜
2 4
⎟
⎜
⎟
⎜ 1 6⎟
⎜
⎟
⎝ 1 5⎠
12.
⎛ a b c ⎞
⎜
d e f
⎟
⎝
⎜ g h j ⎠
⎟
13.
⎛ 0 0 0⎞
⎝
⎜
0 0 0⎠
⎟
14. Sean A y B matrices de n 3 m. Demuestre, usando la definición 1, que (A 1 B) t 5 A t 1 B t .
15. Una matriz A de n 3 n es normal si A A t 5 A t A. Pruebe que la siguiente matriz es normal.
⎛ 3 21⎞
⎝
⎜
1 3⎠
⎟
16. Encuentre los números α y β tales que
⎛ 2 α 3⎞
⎜
5 26 2
⎟ es simétrica.
⎝
⎜ β 2 4⎠
⎟
17. Si A y B son matrices simétricas de n 3 n, pruebe que A 1 B es simétrica.
18. Si A y B son matrices simétricas de n 3 n, demuestre que (AB) t 5 BA.
19. Demuestre que para cualquier matriz A la matriz producto AA t está definida y es una matriz
simétrica.
20. Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica (vea el problema 1.8.31, página 109).
21. Demuestre que la transpuesta de toda matriz diagonal superior es triangular inferior (vea el
problema 1.8.35, página 110).
22. Una matriz cuadrada se denomina antisimétrica si A t 5 2A (es decir a ij
5 2a ji
). ¿Cuáles de
las siguientes matrices son antisimétricas?
a)
⎛ 1 26⎞
⎝
⎜
6 0⎠
⎟
b)
⎛ 0 26⎞
⎝
⎜
6 0⎠
⎟
c)
⎛ 2 22 22⎞
⎜
2 2 22
⎟ d)
⎝
⎜ 2 2 2⎠
⎟
⎛ 0 1 21⎞
⎜
21 0 2
⎟
⎝
⎜ 1 22 0⎠
⎟
23. Sean A y B dos matrices antisimétricas de n 3 n. Demuestre que A 1 B es antisimétrica.
24. Si A es una matriz real antisimétrica, demuestre que toda componente en la diagonal principal
de A es cero.