lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.5 Independencia lineal 327
CÁLCULO
CÁLCULO
58. Sean f y g en C 1 [0, 1]. Entonces el wronskiano † de f y g está definido por
W( f, g)( x)
f( x) g( x)
f ( x) g( x)
Demuestre que si f y g son linealmente dependientes, entonces W( f, g)(x) 5 0 para todo
x P [0, 1].
59. Determine una definición adecuada para el wronskiano de las funciones f 1
, f 2
, . . . , f n
∈
C (n21) [0, 1]. ‡
60. Suponga que u, v y w, son linealmente independientes. Pruebe o desapruebe: u 1 v, u 1 w
y u 1 w son linealmente independientes.
61. ¿Para qué valores reales de c son linealmente independientes los vectores (1 2c, 1 1 c) y
(1 1 c, 1 2c)?
62. Demuestre que los vectores (1, a, a 2 ), (1, b, b 2 ) y (1, c, c 2 ) son linealmente independientes si
a ≠ b, a ≠ c y b ≠ c.
63. Sea {v 1
, v 2
, . . . , v n
} un conjunto linealmente independiente y suponga que v x gen {v 1
,
v 2
, . . . , v n
}. Demuestre que {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es un conjunto linealmente independiente.
3
64. Encuentre un conjunto de tres vectores linealmente independientes en que contenga a
⎛ 2⎞
⎛ −1⎞
⎡
⎧⎛
2⎞
⎛ −1⎞
⎫⎤
los vectores
⎜
1
⎟ ⎜
3
⎟ ⎢
⎪
y
⎢sugerencia: encuentre un vector v ∉
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎥
gen ⎨ 1 , 3
⎬⎥
.
⎝
⎜ 2⎠
⎟
⎝
⎜ 4⎠
⎟ ⎢
⎪
⎣
⎝
⎜
⎠
⎟
⎝
⎜
⎠
⎟ ⎪
⎩
2 4 ⎥
⎭⎦
65. Encuentre un conjunto linealmente independiente de vectores en P 2
que contenga a los
polinomios 1 2 x 2 y 1 1 x 2 .
u v w
1
1
1
66. Suponga que u
u
, v
v
y w
w
, 2
2
2
son coplanares.
u
v
3
3
a) Demuestre que existen constantes a, b y c no todas cero tales que
au 1bu 1cu
50
1 2 3
av 1bv 1cv
50
1 2 3
aw 1bw 1cw
50
b) Explique por qué
w 3
1 2 3
u u u
1 2 3
det
v v v
0
1 2 3
w w w
1 2 3
c) Use el teorema 3 para demostrar que u, v y w son linealmente dependientes.
R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
I. Todos II. Todos III. b, d IV. F V. V
VI. V VII. V VIII. F
†
Así denominado por el matemático polaco Jozef María Hoene-Wronski (1778-1853). Hoene-Wronski pasó la mayor
parte de su vida adulta en Francia. Trabajó en la teoría de determinantes y fue conocido también por sus escritos críticos
sobre filosofía de las matemáticas.
‡
C (n21) [0, 1] es el conjunto de funciones cuyas (n 2 1)-ésimas derivadas están definidas y son continuas en [0, 1].